Determine quais matrizes estão na forma escalonada reduzida e quais estão apenas em forma escalonada.
\left[\begin{array}{lllll}1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 2 & 0 & 2 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 3 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\[6pt] 0 & 2 & 0 & 2 & 2 \\[6pt] 0 & 0 & 0 & 3 & 3 \\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}
e pede para identificar se ela está em forma escalonada e/ou em forma escalonada reduzida. Para isso, vamos usar as definições:
– Forma escalonada (row-echelon form):
  1. Toda linha nula (se houver) fica abaixo de qualquer linha não nula.
  2. O primeiro elemento não nulo (pivot) de cada linha não nula fica à direita do pivot da linha acima.
    – Forma escalonada reduzida (reduced row-echelon form):
  3. Além de 1 e 2, cada pivot vale 1.
  4. Cada pivot é o único elemento não nulo em sua coluna.]

Passo 2

Testando a forma escalonada:
– Não há linhas totalmente nulas acima de linhas não nulas.
– Pivots aparecem em colunas \,1,2,4,5 nas linhas 1,2,3,4, respectivamente, e cada coluna de pivot está mais à direita que a coluna de pivot na linha anterior.
Logo, A satisfaz as condições de forma escalonada.

Passo 3

Testando a forma escalonada reduzida:
– Os pivots deveriam valer 1, mas aqui são 1,2,3,4. Só o primeiro pivot vale 1.
– Além disso, nas colunas de pivot há outros elementos não nulos: por exemplo, na coluna 2 o pivot é 2 em a_{22}, mas a_{12}=1\neq0.
Portanto, não satisfaz as condições de forma escalonada reduzida.

Resposta

A matriz está em forma escalonada, mas não está em forma escalonada reduzida.

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