Determine o MDC e o MMC dos grupos de polinômios.
5.12
y^4-16=(y^2+4)(y+2)(y-2), y^2-4=(y+2)(y-2), y^2-3 y+2=(y-1)(y-2)
MDC=y-2, MMC =(y^2+4)(y+2)(y-2)(y-1)

Passo 1

A questão pede para encontrar o máximo divisor comum (MDC) e o mínimo múltiplo comum (MMC) de três polinômios já fatorados:
Os polinômios são:
y^4 - 16 = (y^2 + 4)(y + 2)(y - 2),
y^2 - 4 = (y + 2)(y - 2),
y^2 - 3y + 2 = (y - 1)(y - 2)
Conteúdo: conceitos de MDC e MMC para polinômios usando fatoração em polinômios irreducíveis.

Passo 2

Para cada fator irreducível, vamos anotar sua multiplicidade em cada polinômio:
Fatores possíveis: y^2+4, y+2, y-2, y-1.
  • Em y^4-16: multiplicidades são
    y^2+4^1, y+2^1, y-2^1.
  • Em y^2-4: multiplicidades são
    y+2^1, y-2^1.
  • Em y^2-3y+2: multiplicidades são
    y-1^1, y-2^1.

Passo 3

O MDC de polinômios é obtido pegando cada fator comum aos três polinômios com o menor expoente presente em todos:
O único fator que aparece em todos é y-2, com expoente 1 em cada. Não há nenhum outro fator presente nas três fatorações.
Portanto:
MDC = y - 2

Passo 4

O MMC de polinômios é obtido pegando cada fator que aparece em pelo menos um dos polinômios com o maior expoente em que ele aparece em qualquer um deles. Aqui todos os fatores têm expoente 1 em algum polinômio. Então reunimos:
y^2+4, y+2, y-2 e y-1.
Logo:
MMC = (y^2 + 4), (y+2), (y-2), (y-1)

Passo 5

Concluindo, o MDC coleta o fator comum mínimo e o MMC reúne todos os fatores com maiores multiplicidades.

Resposta

MDC = y - 2; MMC = (y^2 + 4)(y + 2)(y - 2)(y - 1)

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