Determine o ponto do plano de equação \pi: 2 x+3 y+4 z=-56 mais próximo do ponto A(3,0,-1).

Passo 1

O enunciado pede o ponto de abscissas (x,y,z) que pertence ao plano
\pi:2x+3y+4z=-56
e que está mais próximo do ponto A(3,0,-1).
O conteúdo aqui é projeção ortogonal de um ponto em um plano, usando o vetor normal ao plano.

Passo 2

Reescrevemos a equação de \pi na forma
2x+3y+4z+56=0
para identificar a=2, b=3, c=4 e d=56.
O vetor normal ao plano é
\vec n = (a,b,c) = (2,3,4).

Passo 3

Usamos a fórmula do pé da perpendicular: se P_0=(x_0,y_0,z_0) é o ponto dado e o plano é ax+by+cz+d=0, então
P = P_0 - \frac{ax_0+by_0+cz_0+d}{a^2+b^2+c^2}\,(a,b,c).
Aqui P_0=(3,0,-1). Calculamos o numerador
2\cdot3 + 3\cdot0 + 4\cdot(-1) + 56 = 6 - 4 + 56 = 58
e o denominador
2^2 + 3^2 + 4^2 = 4 + 9 + 16 = 29.

Passo 4

Substituindo na fórmula,
P = (3,0,-1) - \frac{58}{29}\,(2,3,4) = (3,0,-1) - (4,6,8) = (-1,-6,-9).

Resposta

(-1,-6,-9)

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