Determine f^{\prime}(x) para f(x) dada.
(4 \ln \left(4 x{3}-x{2}+2\right))

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = 4\ln\bigl(4x^{3} - x^{2} + 2\bigr).
O conteúdo aqui é derivada de logaritmo natural e regra da cadeia: vamos derivar \ln(u) e multiplicar pela derivada de u = 4x^3 - x^2 + 2.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia,
f'(x) = 4 \cdot \frac{d}{dx}\Bigl[\ln\bigl(4x^{3}-x^{2}+2\bigr)\Bigr] = 4 \cdot \frac{1}{4x^{3}-x^{2}+2} \cdot \frac{d}{dx}\bigl(4x^{3}-x^{2}+2\bigr).

Passo 3

Calculamos a derivada interna:
\frac{d}{dx}\bigl(4x^{3}-x^{2}+2\bigr) =12x^{2}-2x.

Passo 4

Substituindo na expressão de f'(x) e simplificando,
f'(x) = \frac{4\,(12x^{2}-2x)}{4x^{3}-x^{2}+2} = \frac{48x^{2}-8x}{4x^{3}-x^{2}+2} = \frac{8x\,(6x-1)}{4x^{3}-x^{2}+2}.

Resposta

f'(x)=\frac{8x\,(6x-1)}{4x^{3}-x^{2}+2}.

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