Determine f^{\prime}(x) para f(x) dada.
(\star 13 \ln \sqrt{x}+\sqrt{\ln x})

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=13\ln\sqrt{x}+\sqrt{\ln x}
e pede f'(x). O conteúdo que vamos usar inclui:
  1. Simplificar logaritmos (sabendo que \ln\sqrt{x}=\tfrac12\ln x).
  2. Derivada de \ln x que é \tfrac{1}{x}.
  3. Regra da cadeia para funções compostas, como \sqrt{\ln x}=(\ln x)^{1/2}.

Passo 2

Primeiro simplificamos o termo 13\ln\sqrt{x}. Como
\ln\sqrt{x}=\ln(x^{1/2})=\tfrac12\ln x,
temos
13\ln\sqrt{x}=13\cdot\tfrac12\ln x=\tfrac{13}{2}\ln x.
Agora derivamos:
\frac{d}{dx}\bigl(\tfrac{13}{2}\ln x\bigr)=\tfrac{13}{2}\cdot\frac{1}{x}=\frac{13}{2x}.

Passo 3

Em seguida derivamos \sqrt{\ln x}=(\ln x)^{1/2}. Pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}(\ln x)^{1/2} =\tfrac12(\ln x)^{-1/2}\cdot\frac{d}{dx}(\ln x) =\tfrac12(\ln x)^{-1/2}\cdot\frac{1}{x} =\frac{1}{2x\sqrt{\ln x}}.

Passo 4

Somando as duas derivadas, obtemos
f'(x) =\frac{13}{2x} +\frac{1}{2x\sqrt{\ln x}}.

Resposta

f'(x)=\frac{13}{2x}+\frac{1}{2x\sqrt{\ln x}}.

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