Determine as retas tangentes ao círculo x^2+y^2=4 que passam pelo ponto (4 raiz2, 2 raiz2).

Passo 1

O enunciado pede as retas tangentes ao círculo x^2+y^2=4 que passam pelo ponto (4raiz2,2raiz2). O conteúdo é geometria analítica – retas tangentes a círculo – e vamos usar parametrização de reta e condição de tangência (distância do centro à reta igual ao raio).

Passo 2

Representamos uma reta genérica por y = m x + b e impomos que ela passe por (4raiz2,2raiz2). Substituindo, temos
2raiz2 = mcdot 4raiz2 + b
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b = 2raiz2 - 4raiz2,m
.

Passo 3

A condição de tangência diz que a distância do centro (0,0) à reta deve ser igual a 2. Como essa distância é
|b|raiz1+m^2 = 2
substituímos b e elevamos ao quadrado para eliminar o módulo, chegando a
8(1-2m)^21+m^2 = 4
.

Passo 4

Simplificando essa equação obtemos a quadrática
7m^2 - 8m + 1 = 0
e suas raízes são
m = 1 e m = tfrac17
.

Passo 5

Para cada valor de m calculamos b = 2raiz2 - 4raiz2m. Assim, para m=1 vem b = -2raiz2, e para m = tfrac17 vem b = tfrac10raiz27.

Resposta

As retas tangentes são y = x - 2raiz2 e y = tfrac17x + tfrac10raiz27.

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