Determine quais dos seguintes subconjuntos do plano são círculos. Caso afirmativo, ache o centro C e o raio r. Caso negativo, identifique o subconjunto.
.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto S=(x,y)mid x^2+y^2-2x+4y-3=0 é um círculo, e em caso afirmativo achar seu centro e raio. Vamos usar o método de completar quadrados, que é a técnica padrão para identificar círculos em equações implícitas do segundo grau.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a equação agrupando os termos de x e de y:
x^2 - 2x + y^2 + 4y - 3 = 0

Passo 3

Agora aplicamos completar quadrado em cada grupo:
x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1
y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4

Passo 4

Substituindo na equação original temos:
(x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 - 3 = 0
Então
(x - 1)^2 + (y + 2)^2 - 8 = 0
ou seja
(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 8

Passo 5

Essa é a forma padrão de um círculo, que tem centro (1,-2) e raio raiz8=2raiz2.

Resposta

É um círculo de centro C=(1,-2) e raio r=2raiz2.

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