Determine quais dos seguintes subconjuntos do plano são círculos. Caso afirmativo, ache o centro C e o raio r. Caso negativo, identifique o subconjunto.
.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o conjunto S=(x,y)mid x^2+y^2-10x-14y+25=0 é um círculo e, em caso positivo, encontrar seu centro e raio. Vamos usar a técnica de completar quadrados, pois a forma geral de um círculo no plano é (x-h)^2+(y-k)^2=r^2.

Passo 2

Primeiro, separe os termos em x e y:
x^2-10x+y^2-14y+25=0

Passo 3

Agora, complete o quadrado em x e em y:
Para x^2-10x temos
x^2-10x=(x-5)^2-25
Para y^2-14y temos
y^2-14y=(y-7)^2-49

Passo 4

Substituindo essas expressões na equação original:
(x-5)^2-25+(y-7)^2-49+25=0
Simplificando os constantes:
(x-5)^2+(y-7)^2-49=0
Ou seja:
(x-5)^2+(y-7)^2=49

Passo 5

Concluímos que S é um círculo de centro C=(5,7) e raio r=raiz49=7.

Resposta

O conjunto S é um círculo de centro C=(5,7) e raio r=7.

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