Um ponto
do plano se move de modo que a soma dos quadrados de suas distâncias a dois pontos fixos
e
é uma constante
. Determine a equação do lugar geométrico descrito pelo ponto P e identifique-o.
Sugestão: Seja
. Considere o sistema de coordenadas com o eixo
sendo a reta que passa por
e
, com origem
e orientada de
para
. Neste sistema de coordenadas, temos
e
. Você deve considerar os casos:
e
.
Passo 1
O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos P do plano tais que a soma dos quadrados das distâncias a A e B é constante k>0. O conteúdo é geometria analítica (locus de pontos), usando coordenadas: colocamos A=(0,0), B=(a,0) e P=(x,y) e analisamos os casos k< a²/2, k= a²/2 e k> a²/2.
Passo 2
Em coordenadas, temos
A condição é
Passo 3
Expandindo e agrupando termos:
Passo 4
Para reconhecer como circunferência, complete o quadrado em x:
Sabendo que 2(\tfrac{a}{2})^2 = \tfrac{a^2}{2}, temos:
Dividindo tudo por 2:
Passo 5
O lado direito
deve ser não negativo. Assim:
- Se
, então e não há pontos reais (conjunto vazio). - Se
, então e o lugar é o ponto , que é o ponto médio de AB. - Se
, então e o lugar é a circunferência de centro e raio
Resposta
O lugar geométrico é dado pela equação
Para k< a²/2 não existem pontos reais; para k= a²/2 o locus reduz-se ao ponto (a/2,0); para k> a²/2 é a circunferência de centro (a/2,0) e raio