Um ponto P do plano se move de modo que a soma dos quadrados de suas distâncias a dois pontos fixos A e B é uma constante k>0. Determine a equação do lugar geométrico descrito pelo ponto P e identifique-o.
Sugestão: Seja a=d(A, B). Considere o sistema de coordenadas com o eixo x sendo a reta que passa por A e B, com origem A e orientada de A para B. Neste sistema de coordenadas, temos A=(0,0), B=(a, 0) e P=(x, y). Você deve considerar os casos: k e k>a^22.

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos P do plano tais que a soma dos quadrados das distâncias a A e B é constante k>0. O conteúdo é geometria analítica (locus de pontos), usando coordenadas: colocamos A=(0,0), B=(a,0) e P=(x,y) e analisamos os casos k< a²/2, k= a²/2 e k> a²/2.

Passo 2

Em coordenadas, temos
PA^2 = x^2 + y^2,
PB^2 = (x - a)^2 + y^2
A condição é
PA^2 + PB^2 = x^2 + y^2 + (x - a)^2 + y^2 = k

Passo 3

Expandindo e agrupando termos:
x^2 + y^2 + x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = k
2x^2 - 2ax + 2y^2 + a^2 = k

Passo 4

Para reconhecer como circunferência, complete o quadrado em x:
2igl(x^2 - axigr) + 2y^2 + a^2 = k 
2igl((x - tfraca2)^2 - (tfraca2)^2r) + 2y^2 + a^2 = k 
2(x - tfraca2)^2 - 2(tfraca2)^2 + 2y^2 + a^2 = k
Sabendo que 2(\tfrac{a}{2})^2 = \tfrac{a^2}{2}, temos:
2(x - tfraca2)^2 + 2y^2 = k - a^2 + tfraca^22 = k - tfraca^22
Dividindo tudo por 2:
(x - tfraca2)^2 + y^2 = tfrac2k - a^24

Passo 5

O lado direito r^2 = tfrac2k - a^24 deve ser não negativo. Assim:
  • Se k < tfraca^22, então r^2<0 e não há pontos reais (conjunto vazio).
  • Se k = tfraca^22, então r=0 e o lugar é o ponto (a/2,0), que é o ponto médio de AB.
  • Se k > tfraca^22, então r>0 e o lugar é a circunferência de centro (a/2,0) e raio r=tfrac12raiz2k - a^2

Resposta

O lugar geométrico é dado pela equação
(x - tfraca2)^2 + y^2 = tfrac2k - a^24
Para k< a²/2 não existem pontos reais; para k= a²/2 o locus reduz-se ao ponto (a/2,0); para k> a²/2 é a circunferência de centro (a/2,0) e raio tfrac12raiz2k - a^2

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