Determine quais dos seguintes subconjuntos do plano são círculos. Caso afirmativo, ache o centro C e o raio r. Caso negativo, identifique o subconjunto.
S=(x, y) mid 4 x^2+4 y^2-4 x+8 y-23=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o subconjunto S=(x,y)mid 4x^2+4y^2-4x+8y-23=0 é uma circunferência e, em caso afirmativo, determinar seu centro e raio. Isso envolve geometria analítica e completar quadrados para colocar a equação no formato canônico de uma circunferência.

Passo 2

Começamos dividindo a equação por 4 para simplificar os coeficientes e, em seguida, completamos quadrados nos termos de x e y. Dividindo, obtemos:

Passo 3

x^2 + y^2 - x + 2y - 234 = 0
Para completar quadrados, escrevemos:
x^2 - x + tfrac14 + y^2 + 2y +1 - tfrac14 - 1 - tfrac234 = 0
E então reconhecemos:
(x-tfrac12)^2 + (y+1)^2 - l(tfrac14 + 1 + tfrac234r) = 0

Passo 4

Simplificando a constante dentro do parêntese, temos:
tfrac14 + 1 + tfrac234 = tfrac1 + 4 + 234 = tfrac284 = 7
Logo, a equação vira:
(x-tfrac12)^2 + (y+1)^2 = 7
Essa é a forma canônica de uma circunferência, então S é um círculo.

Resposta

Centro C = l(tfrac12,-1r) e raio r = raiz7.

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