Determine a equação do círculo que satisfaz a propriedade dada:
Passa pelos pontos (1,1),(1,-2) e (2,3).

Passo 1

O enunciado pede a equação do círculo que passa pelos três pontos dados. O conteúdo aqui é geometria analítica de circunferências: vamos usar a forma geral (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 e impor que os três pontos satisfazem essa equação.

Passo 2

Escrevemos um sistema impondo que cada ponto satisfaz (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2:
(1 - h)^2 + (1 - k)^2 = r^2,
(1 - h)^2 + (-2 - k)^2 = r^2,
(2 - h)^2 + (3 - k)^2 = r^2

Passo 3

Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar r^2 e também o termo (1 - h)^2, temos:
(1 - k)^2 - (-2 - k)^2 = 0
Expandindo e simplificando:
(k - 1)^2 - (k + 2)^2 = 0 ,Longrightarrow, -6k - 3 = 0 ,Longrightarrow, k = -tfrac12

Passo 4

Para encontrar h, subtraímos a primeira equação da terceira, usando k = -tfrac12:
(1 - h)^2 + l(1 + tfrac12r)^2 = (2 - h)^2 + l(3 + tfrac12r)^2
Isso leva, após expansão e multiplicar por 4, a
4(1 - h)^2 + 9 = 4(2 - h)^2 + 49
e daí obtemos h = tfrac132.

Passo 5

Calculamos r^2 substituindo h e k na equação com o ponto (1,1):
r^2 = (1 - tfrac132)^2 + (1 + tfrac12)^2 = l(-tfrac112r)^2 + l(tfrac32r)^2 = tfrac1214 + tfrac94 = tfrac652

Passo 6

Agora escrevemos a equação do círculo na forma canônica e também expandida para facilitar conferência.

Resposta

(x - tfrac132)^2 + (y + tfrac12)^2 = tfrac652 ou, de forma expandida, x^2 + y^2 - 13x + y + 10 = 0.

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