26.23 Determine o termo independente de x na expansão de
(x^2-1x)^9

SOLUÇÃO

De(x^2)^9-r+1(x^-1)^r-1=x^0, obtemos 2(9-r+1)-1(r-1)=0 ou r=7.
Para o sétimo termo: n=9, r=7, n-r+2=4, r-1=6, n-r+1=3.
sétimo termo =9 cdot 8 cdot 7 cdot 6 cdot 5 cdot 41 cdot 2 cdot 3 cdot 4 cdot 5 cdot 6(x^2)^3(-x^-1)^6=84 é

Passo 1

Nesse exercício vamos usar expansão binomial para determinar o termo independente de x em l(x^2 - tfrac1xr)^9. O conteúdo aqui é o Teorema Binomial de Newton, e o que precisamos é identificar o termo cujo expoente de x seja zero.

Passo 2

Pela fórmula do binômio, o termo geral de ordem k+1 em l(a+br)^n é
Tk+1 = binomnk , a^n-k , b^k
Aqui temos a = x^2, b = -x^-1 e n=9, então
Tk+1 = binom9k ,(x^2)^9-k ,( -x^-1)^k

Passo 3

Agora vamos encontrar o valor de k que torna o expoente de x igual a zero. O expoente resultante é
2(9-k) - 1cdot k = 18 - 2k - k = 18 - 3k
Para termo independente, queremos
18 - 3k = 0
ou seja k = 6.

Passo 4

Com k=6, o termo independente é
T7 = binom96 ,(x^2)^3 ,( -x^-1)^6
Como (x^2)^3 = x^6 e ( -x^-1)^6 = (+1),x^-6, elas se cancelam, restando o coeficiente
binom96(-1)^6 = binom96 = 84

Resposta

84

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