Expanda utilizando a fórmula binomial.
(a+x){5}=a{5}+5 a^{4} x+\frac{5 \cdot 4}{1 \cdot 2} a^{3} x^{2}+\frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{1 \cdot 2 \cdot 3} a^{2} x^{3}+\frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} a x{4}+x{5}=a^{5}+5 a^{4} x+10 a^{3} x^{2}+10 a^{2} x^{3}+5 a x{4}+x{5}

Passo 1

O exercício pede para expandir o binômio (a+x)⁵ usando a fórmula binomial. O conteúdo é a Teoria do Binômio de Newton, e vamos precisar da definição de coeficiente binomial binomnk com fatoriais.

Passo 2

A fórmula geral do binômio de Newton afirma:
(a+x)^n = sumk=0^n binomnk ,a^n-k x^k
Aqui temos n=5, logo
(a+x)^5 = sumk=0^5 binom5k ,a^5-k x^k
.

Passo 3

Vamos calcular cada coeficiente binomial usando binom5k=5!k!,(5-k)!:
  • binom50=1
  • binom51=5
  • binom52=10
  • binom53=10
  • binom54=5
  • binom55=1.

Passo 4

Substituindo esses valores na soma e escrevendo cada termo em potência de a e x, obtemos:
(a+x)^5 = 1,a^5 + 5,a^4 x + 10,a^3 x^2 + 10,a^2 x^3 + 5,a x^4 + 1,x^5

Resposta

a^5 + 5a^4 x + 10a^3 x^2 + 10a^2 x^3 + 5a x^4 + x^5

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