Problemas Complementares
Expanda pela fórmula binomial.
(d) (x+1x)^5

Passo 1

O enunciado pede para expandir pela fórmula binomial a expressão l(x+tfrac1xr)^5. Vamos usar o Teorema Binomial para obter os coeficientes e as potências de x e de 1/x.

Passo 2

O Teorema Binomial afirma:
(a+b)^n = sumk=0^n binomnk a^n-k b^k

Passo 3

No nosso caso temos a = x, b = tfrac1x e n = 5. Assim, cada termo da expansão será
binom5k x^5-k l(tfrac1xr)^k = binom5k x^5-2k

Passo 4

Agora, para cada k de 0 a 5, calculamos o coeficiente e a potência de x:
  • k=0: binom50=1, expoente 5-2cdot0=5, termo x^5.
  • k=1: binom51=5, expoente 5-2cdot1=3, termo 5x^3.
  • k=2: binom52=10, expoente 5-2cdot2=1, termo 10x.
  • k=3: binom53=10, expoente 5-2cdot3=-1, termo 10x^-1.
  • k=4: binom54=5, expoente 5-2cdot4=-3, termo 5x^-3.
  • k=5: binom55=1, expoente 5-2cdot5=-5, termo x^-5.

Passo 5

Somando todos os termos, obtemos a expansão completa.

Resposta

x^5 + 5x^3 + 10x + 10x^-1 + 5x^-3 + x^-5

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