12 Durante o primeiro mês de crescimento de produtos como milho, algodão e soja, a taxa de crescimento (em gramas/dia) é proporcional ao peso presente W. Para determinada espécie de algodão, d W / d t=0,21 W. Preveja o peso de uma planta no témino de um mês (t=30), se a planta pesa 70 miligramas no início do mês.

Passo 1

O enunciado diz que a taxa de crescimento dW/dt é proporcional ao peso W, com constante de proporcionalidade 0,21. Temos a equação diferencial
\frac{dW}{dt} = 0,21\,W,
inicialmente W(0)=70 mg, e queremos W(30).

Passo 2

Esta é uma equação diferencial separável. Separamos variáveis:
\frac{dW}{W} = 0,21\,dt.
Integrando ambos os lados:
\int \frac{dW}{W} = \int 0,21\,dt \quad\Longrightarrow\quad \ln W = 0,21\,t + C,
onde C é constante de integração.

Passo 3

Usamos a condição inicial W(0)=70 mg para achar C:
\ln(70) = 0,21\cdot 0 + C \quad\Longrightarrow\quad C = \ln(70).
Logo a solução geral é
\ln W = 0,21\,t + \ln(70) \quad\Longrightarrow\quad W(t) = 70\,e^{0,21\,t}.

Passo 4

Para t=30 dias:
W(30) = 70\,e^{0,21\cdot 30} = 70\,e^{6,3}.

Passo 5

Calculando numericamente e^{6,3}\approx 544,6, temos
W(30)\approx 70\times 544,6 \approx 38\,122\text{ mg}\approx 38,12\text{ g}.

Resposta

O peso estimado após 30 dias é de aproximadamente 38\,122 mg (ou 38{,}12 g).

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