6 Uma chapa de metal aquecida se resfria de 180^{\circ} \mathrm{F} para 150^{\circ} \mathrm{F} em 20 minutos, quando exposta ao ar à temperatura de 60^{\circ} \mathrm{F}. Use a lei do resfriamento de Newton (veja o Exemplo 3) para dar uma
aproximação da temperatura da chapa ao cabo de uma hora de resfriamento. Quando é que a temperatura será 100^{\circ} \mathrm{F} ?

Passo 1

O enunciado diz que uma chapa de metal tem temperatura inicial de 180^\circ\mathrm{F} e, ao ser exposta ao ar a 60^\circ\mathrm{F}, cai para 150^\circ\mathrm{F} em 20 minutos. Precisamos usar a lei do resfriamento de Newton, que descreve a variação de temperatura pela equação diferencial\r
\frac{dT}{dt}=-k\bigl(T-T_a\bigr),\r
onde T_a é a temperatura ambiente e k>0 é a constante de resfriamento. Vamos:\r
  1. Encontrar a solução geral para T(t).\r
  2. Usar o dado T(20)=150^\circ\mathrm{F} para achar k.\r
  3. Calcular T(60) (após uma hora).\r
  4. Determinar o tempo t tal que T(t)=100^\circ\mathrm{F}.

Passo 2

A solução geral da equação \tfrac{dT}{dt}=-k(T-T_a) é\r
\;T(t)=T_a+\bigl(T(0)-T_a\bigr)e^{-k\,t}.\r
Aqui T(0)=180, T_a=60, logo\r
\;T(t)=60+120\,e^{-k\,t}.

Passo 3

Usamos o ponto \bigl(t=20,\;T=150\bigr):\r
150 = 60 + 120\,e^{-20k} \quad\Longrightarrow\quad 90 = 120\,e^{-20k} \quad\Longrightarrow\quad e^{-20k}=\tfrac{3}{4}.
Tomando logaritmo,
-20k = \ln\!\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad k = -\frac{1}{20}\ln\!\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr) = \frac{1}{20}\ln\!\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr) \approx0{,}014384\\ \text{(min}^{-1}\text{)}.

Passo 4

Para a temperatura após uma hora ( t=60 min):\r
T(60) = 60 + 120\,e^{-60k} = 60 + 120\bigl(e^{-20k}\bigr)^3 = 60 + 120\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)^3 = 60 + 120\cdot\tfrac{27}{64} = 60 + 50{,}625 \approx110{,}6^\circ\mathrm{F}.

Passo 5

Para achar t quando T(t)=100:\r
100 = 60 + 120\,e^{-k t} \quad\Longrightarrow\quad 40 = 120\,e^{-k t} \quad\Longrightarrow\quad e^{-k t}=\tfrac{1}{3}
-k\,t = \ln\!\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad t = -\frac{1}{k}\ln\!\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr) = \frac{\ln3}{k} \approx\frac{1{,}0986}{0{,}014384} \approx76{,}4\\ \text{min}.

Resposta

Temperatura após uma hora: aproximadamente 110{,}6^\circ\mathrm{F}.
\r
Tempo para chegar a 100^\circ\mathrm{F}: aproximadamente 76{,}4 minutos.

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