Empregando a Regra de Sinais de Descartes,o que podemos concluir sobre o número de raízes positivas.negati- vas e complexas das equações abaixo?
Passo 1
O enunciado pede para usar a Regra de Sinais de Descartes para determinar quantas raízes positivas, negativas e complexas a equação
possui.
Passo 2
Vamos aplicar a Regra de Sinais de Descartes em
para contar as raízes positivas. Para isso, observamos os sinais dos coeficientes ordenados por grau: +1 (de
), 0 (de
), –2 (de
), –3 (de
), –2 (termo constante). Pulamos coeficientes zero e contamos as variações de sinal:
+1 → –2 (uma variação)
E não há mais mudanças, pois –2 → –3 e –3 → –2 são sinais iguais. Logo, há exatamente 1 raiz real positiva.
Passo 3
Agora aplicamos a Regra de Sinais de Descartes em
para contar as raízes negativas. Calculamos
Os sinais dos coeficientes são +1 (de
), –2 (de
), +3 (de
), –2 (constante). Contamos as variações:
+1 → –2 (uma variação)
–2 → +3 (segunda variação)
+3 → –2 (terceira variação)
São 3 variações, portanto o número de raízes reais negativas é 3 ou 1 (pois subtraímos sempre um número par possível).
Passo 4
Como o grau total do polinômio é 4, e já temos 1 raiz positiva, o número de raízes negativas pode ser 3 ou 1. Assim o número de raízes reais totais será 4 (1 positiva + 3 negativas) ou 2 (1 positiva + 1 negativa). O restante das raízes, até completar 4, será de raízes complexas não reais. Por fim, concluímos:
Resposta
Existem exatamente 1 raiz real positiva; o número de raízes reais negativas é 3 ou 1; consequentemente há ou 0 ou 2 raízes complexas.