Empregando a Regra de Sinais de Descartes,o que podemos concluir sobre o número de raízes positivas.negati- vas e complexas das equações abaixo?
x^4-2 x^2-3 x-2=0

Passo 1

O enunciado pede para usar a Regra de Sinais de Descartes para determinar quantas raízes positivas, negativas e complexas a equação
x^4-2x^2-3x-2=0
possui.

Passo 2

Vamos aplicar a Regra de Sinais de Descartes em f(x)=x^4-2x^2-3x-2 para contar as raízes positivas. Para isso, observamos os sinais dos coeficientes ordenados por grau: +1 (de x^4), 0 (de x^3), –2 (de x^2), –3 (de x), –2 (termo constante). Pulamos coeficientes zero e contamos as variações de sinal:
+1 → –2 (uma variação)
E não há mais mudanças, pois –2 → –3 e –3 → –2 são sinais iguais. Logo, há exatamente 1 raiz real positiva.

Passo 3

Agora aplicamos a Regra de Sinais de Descartes em f(-x) para contar as raízes negativas. Calculamos
f(-x)=(-x)^4-2(-x)^2-3(-x)-2=x^4-2x^2+3x-2
Os sinais dos coeficientes são +1 (de x^4), –2 (de x^2), +3 (de x), –2 (constante). Contamos as variações:
+1 → –2 (uma variação)
–2 → +3 (segunda variação)
+3 → –2 (terceira variação)
São 3 variações, portanto o número de raízes reais negativas é 3 ou 1 (pois subtraímos sempre um número par possível).

Passo 4

Como o grau total do polinômio é 4, e já temos 1 raiz positiva, o número de raízes negativas pode ser 3 ou 1. Assim o número de raízes reais totais será 4 (1 positiva + 3 negativas) ou 2 (1 positiva + 1 negativa). O restante das raízes, até completar 4, será de raízes complexas não reais. Por fim, concluímos:

Resposta

Existem exatamente 1 raiz real positiva; o número de raízes reais negativas é 3 ou 1; consequentemente há ou 0 ou 2 raízes complexas.

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