Empregando a Regra de Sinais de Descartes,o que podemos concluir sobre o número de raízes positivas.negati- vas e complexas das equações abaixo?
2 x^3+3 x^2-13 x+6=0

Passo 1

Vamos usar a Regra de Sinais de Descartes para estimar quantas raízes positivas, negativas e complexas a equação 2x^3+3x^2-13x+6=0 pode ter.

Passo 2

Para as raízes positivas, olhamos para os sinais dos coeficientes de f(x)=2x^3+3x^2-13x+6. Temos a sequência de sinais +,+,-,+ e contamos as variações: de + para - e de - para +, totalizando 2 variações.
Pela Regra de Descartes, o número de raízes reais positivas é igual ao número de variações de sinal ou menor que ele em um múltiplo de 2. Logo, pode haver 2 ou 0 raízes positivas.

Passo 3

Para as raízes negativas, consideramos f(-x)=-2x^3+3x^2+13x+6. A sequência de coeficientes é -,+,+,+, com exatamente 1 variação de sinal.
Assim, pelo mesmo princípio, existe exatamente 1 raiz real negativa.

Passo 4

Como o grau do polinômio é 3, o total de raízes (reais ou complexas) deve ser 3. Se houver 2 raízes positivas e 1 negativa, não sobra espaço para raízes complexas. Se houver 0 raízes positivas, além da negativa, restam 2 raízes que formam um par complexo conjugado.

Resposta

O polinômio pode ter 2 ou 0 raízes positivas, exatamente 1 raiz negativa e, consequentemente, ou 0 raízes complexas (se tiver 2 positivas) ou 2 raízes complexas conjugadas (se tiver 0 positivas).

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