Empregando a Regra de Sinais de Descartes,o que podemos concluir sobre o número de raízes positivas.negati- vas e complexas das equações abaixo?
Passo 1
Vamos usar a Regra de Sinais de Descartes para estimar quantas raízes positivas, negativas e complexas a equação
pode ter.
Passo 2
Para as raízes positivas, olhamos para os sinais dos coeficientes de
. Temos a sequência de sinais
e contamos as variações: de
para
e de
para
, totalizando 2 variações.
Pela Regra de Descartes, o número de raízes reais positivas é igual ao número de variações de sinal ou menor que ele em um múltiplo de 2. Logo, pode haver 2 ou 0 raízes positivas.
Pela Regra de Descartes, o número de raízes reais positivas é igual ao número de variações de sinal ou menor que ele em um múltiplo de 2. Logo, pode haver 2 ou 0 raízes positivas.
Passo 3
Para as raízes negativas, consideramos
. A sequência de coeficientes é
, com exatamente 1 variação de sinal.
Assim, pelo mesmo princípio, existe exatamente 1 raiz real negativa.
Assim, pelo mesmo princípio, existe exatamente 1 raiz real negativa.
Passo 4
Como o grau do polinômio é 3, o total de raízes (reais ou complexas) deve ser 3. Se houver 2 raízes positivas e 1 negativa, não sobra espaço para raízes complexas. Se houver 0 raízes positivas, além da negativa, restam 2 raízes que formam um par complexo conjugado.
Resposta
O polinômio pode ter 2 ou 0 raízes positivas, exatamente 1 raiz negativa e, consequentemente, ou 0 raízes complexas (se tiver 2 positivas) ou 2 raízes complexas conjugadas (se tiver 0 positivas).