1. Encontre um exemplo de um conjunto S convexo limitado em \mathbb{R}^{2} com perfil P não vazio, mas tal que conv P \neq S.

Passo 1

O enunciado pede um conjunto S\subset\mathbb{R}^2 que seja convexo e limitado e cujo perfil P não seja vazio, mas tal que \mathrm{conv}\,P\neq S. Vamos usar a definição de perfil como a face de suporte numa direção fixa.

Passo 2

Considere
S = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \le 1\}.
Esse é o disco unitário: é convexo e limitado em \mathbb{R}^2.

Passo 3

Escolha a direção u=(1,0). O perfil de S em u é
P = \bigl\{(x,y)\in S : \langle u,(x,y)\rangle = \max_{(x',y')\in S}\langle u,(x',y')\rangle \bigr\} = \{(1,y)\mid y^2\le 1\}.
Claramente P\neq\emptyset. Como P é já um segmento convexo, \mathrm{conv}\,P = P. Logo
\mathrm{conv}\,P = \{(1,y)\mid y\in[-1,1]\} \neq S.

Resposta

Um exemplo é
S=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2\le 1\},
e tomando a direção u=(1,0) obtém-se o perfil
P=\{(1,y)\mid y\in[-1,1]\}.
Então \mathrm{conv}\,P=P\neq S.

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