- Seja
. A origem é um ponto extremo de conv
? A origem é um vértice de conv
?
Passo 1
O enunciado dá
e pergunta se a origem
é um ponto extremo de
e se é um vértice de
.
Conteúdo: definição de envoltória convexa, ponto extremo, face e vértice de um conjunto convexo em .
Conteúdo: definição de envoltória convexa, ponto extremo, face e vértice de um conjunto convexo em
Passo 2
Primeiro, caracterizamos
. Como a bola fechada
é convexa e
está fora dela,
é a união de todos os segmentos que ligam
a cada ponto do disco. Em particular,
é um conjunto convexo cujo “lado de baixo” é o segmento
pois a única parte de disco que tem
é o ponto
, e a reta que une
a
fica toda em
.
Passo 3
Vamos mostrar que
é ponto extremo de
. Seja
com
e
.
- Todo ponto de
satisfaz
. Se algum de ou tivesse , então a combinação teria segunda coordenada , contradizendo que é . - Logo
pertencem ao segmento , isto é, e para . - A combinação
implica . Como e , a única solução é .
Portanto, e a representação não é não-trivial. Assim é ponto extremo de .
Passo 4
Agora vemos que
não é vértice de
. Em
, vértice é um ponto que forma face de dimensão zero, ou seja, que não pertence a nenhuma face de dimensão maior. Mas a reta
é uma hipersuperfície de suporte a e dela o conjunto de contato é exatamente o segmento
é uma hipersuperfície de suporte a e dela o conjunto de contato é exatamente o segmento
que é uma face de dimensão
. Como
está nessa face de dimensão
, ele não gera uma face de dimensão
. Logo não é vértice de
.
Resposta
A origem é ponto extremo de
, mas não é vértice de
.