1. Seja S=\left\{(x, y): x^{2}+(y-1)^{2} \leq 1\right\} \cup\{(3,0)\}. A origem é um ponto extremo de conv S ? A origem é um vértice de conv S ?

Passo 1

O enunciado dá
S = \bigl\{(x,y)\mid x^{2}+(y-1)^{2}\le1\bigr\}\;\cup\;\{(3,0)\}
e pergunta se a origem (0,0) é um ponto extremo de \conv S e se é um vértice de \conv S.
Conteúdo: definição de envoltória convexa, ponto extremo, face e vértice de um conjunto convexo em \mathbb R^2.

Passo 2

Primeiro, caracterizamos \conv S. Como a bola fechada \{x^{2}+(y-1)^{2}\le1\} é convexa e (3,0) está fora dela, \conv S é a união de todos os segmentos que ligam (3,0) a cada ponto do disco. Em particular, \conv S é um conjunto convexo cujo “lado de baixo” é o segmento
F=\bigl\{(t,0)\mid 0\le t\le3\bigr\},
pois a única parte de disco que tem y=0 é o ponto (0,0), e a reta que une (0,0) a (3,0) fica toda em y=0.

Passo 3

Vamos mostrar que (0,0) é ponto extremo de \conv S. Seja
(0,0)=\lambda\,A+(1-\lambda)\,B
com A,B\in\conv S e 0<\lambda<1.
  1. Todo ponto de \conv S satisfaz y\ge0. Se algum de A ou B tivesse y>0, então a combinação teria segunda coordenada >0, contradizendo que é (0,0).
  2. Logo A,B pertencem ao segmento F, isto é, A=(t,0) e B=(s,0) para 0\le t,s\le3.
  3. A combinação \lambda(t,0)+(1-\lambda)(s,0)=(0,0) implica \lambda t+(1-\lambda)s=0. Como t,s\ge0 e 0<\lambda<1, a única solução é t=s=0.
    Portanto A=B=(0,0), e a representação não é não-trivial. Assim (0,0) é ponto extremo de \conv S.

Passo 4

Agora vemos que (0,0) não é vértice de \conv S. Em \mathbb R^2, vértice é um ponto que forma face de dimensão zero, ou seja, que não pertence a nenhuma face de dimensão maior. Mas a reta y=0
é uma hipersuperfície de suporte a \conv S e dela o conjunto de contato é exatamente o segmento
F=\{(t,0)\mid0\le t\le3\},
que é uma face de dimensão 1. Como (0,0) está nessa face de dimensão 1, ele não gera uma face de dimensão 0. Logo não é vértice de \conv S.

Resposta

A origem é ponto extremo de \conv S, mas não é vértice de \conv S.

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