Encontre \mathbf{x} tal que 2 \mathbf{u}+3 \mathbf{x}=\mathbf{w}-5 \mathbf{x}.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação vetorial 2\mathbf{u} + 3\mathbf{x} = \mathbf{w} - 5\mathbf{x}
e pede para encontrar \mathbf{x}. O conteúdo envolve manipular igualdades vetoriais, usar soma de vetores e fatoração por escalar.

Passo 2

Vamos reunir todos os termos que envolvem \mathbf{x} num mesmo lado. Para isso, somamos 5\mathbf{x} a ambos os lados:
2\mathbf{u} + 3\mathbf{x} + 5\mathbf{x} = \mathbf{w} - 5\mathbf{x} + 5\mathbf{x}.
No lado direito, -5\mathbf{x} + 5\mathbf{x} = \mathbf{0}.

Passo 3

No lado esquerdo, combinamos 3\mathbf{x} + 5\mathbf{x} = 8\mathbf{x}, obtendo
2\mathbf{u} + 8\mathbf{x} = \mathbf{w}.
Em seguida subtraímos 2\mathbf{u} de ambos os lados, ficando
8\mathbf{x} = \mathbf{w} - 2\mathbf{u}.

Passo 4

Finalmente, dividimos ambos os lados pelo escalar 8. Pela propriedade distributiva do produto escalar em vetores, chega-mos a
\mathbf{x} = \tfrac{1}{8}\bigl(\mathbf{w} - 2\mathbf{u}\bigr).

Resposta

\mathbf{x} = \tfrac{1}{8}\bigl(\mathbf{w} - 2\mathbf{u}\bigr).

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