Encontre os valores de p para os quais
(x^4-p^2 x+3-p) div(x-3) tem resto igual a 4 .

Passo 1

O enunciado pede os valores de p tais que o resto da divisão de x^4 - p^2 x + 3 - p por x-3 seja 4. O conteúdo é o Teorema do Resto e vamos precisar avaliar o polinômio em x=3.

Passo 2

Pelo Teorema do Resto, o resto de f(x)div(x-3) é f(3). Definindo f(x)=x^4 - p^2 x + 3 - p, basta calcular f(3).

Passo 3

Calculando f(3):
f(3)=3^4 - p^2cdot3 + 3 - p = 81 - 3p^2 + 3 - p = 84 - 3p^2 - p

Passo 4

Impondo f(3)=4 obtemos a equação:
84 - 3p^2 - p = 4
Que simplifica para:
3p^2 + p - 80 = 0

Passo 5

Agora resolvemos a equação quadrática. O discriminante é:
De<a = 1^2 - 4cdot3cdot(-80) = 1 + 960 = 961
Logo,
p = -1 pm 312cdot3 = -1 pm 316,
resultando em p = 5 ou p = -163.

Resposta

5 e -tfrac163

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