Identifique os seguintes subconjuntos do plano e, no caso de ser uma elipse, determine as coordenadas do centro, vértices e focos:
B=(x, y) mid 4 x^2-8 x+9 y^2-36 y+4=0.

Passo 1

O problema dá o conjunto B=(x,y)mid 4x^2-8x+9y^2-36y+4=0. É uma equação do segundo grau em x e y, ou seja, uma cônica. Vamos completar quadrados pra ver de que cônica se trata.

Passo 2

Começo completando quadrados em x e em y:
Para x:
4x^2-8x = 4l(x^2-2xr) = 4l[(x-1)^2-1r] = 4(x-1)^2-4
Para y:
9y^2-36y = 9l(y^2-4yr) = 9l[(y-2)^2-4r] = 9(y-2)^2-36
Substituindo na equação original e somando o termo constante 4:
l[4(x-1)^2-4r] + l[9(y-2)^2-36r] +4 = 0
que simplifica para
4(x-1)^2 + 9(y-2)^2 = 36

Passo 3

Dividindo ambos os lados por 36, obtemos a forma reduzida da elipse:
(x-1)^29 + (y-2)^24 = 1
Dessa forma vemos que é uma elipse com centro em (1,2), semieixo maior a=3 (pois a^2=9) na direção do eixo x, e semieixo menor b=2 (pois b^2=4) na direção do eixo y.

Passo 4

Os vértices principais (nos extremos do semieixo maior) ficam em
(1pm a,,2) = (1pm3,,2),
isto é, (4,2) e (-2,2).
Os co-vértices (extremos do semieixo menor) são
(1,,2pm b) = (1,,2pm2),
isto é, (1,4) e (1,0).

Passo 5

Para achar os focos usamos c^2 = a^2 - b^2 = 9 - 4 = 5, logo c=raiz5. Eles ficam ao longo do eixo maior, isto é,
(1pm c,,2) = (1pmraiz5,,2)

Resposta

A é uma elipse cujo:
Centro: (1,2)
Equação reduzida: tfrac(x-1)^29+tfrac(y-2)^24=1
Semieixo maior: a=3 (eixo x)
Semieixo menor: b=2 (eixo y)
Vértices: (4,2) e (-2,2)
Co-vértices: (1,4) e (1,0)
Focos: (1+raiz5,2) e (1-raiz5,2).

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