Identifique os seguintes subconjuntos do plano e, no caso de ser uma elipse, determine as coordenadas do centro, vértices e focos:
.
Passo 1
O problema dá o conjunto
. É uma equação do segundo grau em
e
, ou seja, uma cônica. Vamos completar quadrados pra ver de que cônica se trata.
Passo 2
Começo completando quadrados em
e em
:
Para :
Para
Para
:
Substituindo na equação original e somando o termo constante 4:
que simplifica para
Passo 3
Dividindo ambos os lados por 36, obtemos a forma reduzida da elipse:
Dessa forma vemos que é uma elipse com centro em
, semieixo maior
(pois
) na direção do eixo
, e semieixo menor
(pois
) na direção do eixo
.
Passo 4
Os vértices principais (nos extremos do semieixo maior) ficam em
isto é,
e
.
Os co-vértices (extremos do semieixo menor) são
Os co-vértices (extremos do semieixo menor) são
isto é,
e
.
Passo 5
Para achar os focos usamos
, logo
. Eles ficam ao longo do eixo maior, isto é,
Resposta
A é uma elipse cujo:
Centro:
Equação reduzida:
Semieixo maior: (eixo
)
Semieixo menor: (eixo
)
Vértices: e
Co-vértices: e
Focos: e
.
Centro:
Equação reduzida:
Semieixo maior:
Semieixo menor:
Vértices:
Co-vértices:
Focos: