a) Escreva cos 3 theta, cos 4 theta e cos 5 theta em função de cos theta;
b) Escreva sen 3 theta e sen 5 theta em função de sen theta;
c) Escreva sen 4 thetasen theta em função de cos theta;
d) Demonstre a identidade cos 5 theta+cos 3 theta=2 cos theta cos 4 theta .

Passo 1

O enunciado pede: a) expressar cos3theta,;cos4theta,;cos5theta em função de costheta; b) expressar sin3theta e sin5theta em função de sintheta; c) escrever sin4theta/sintheta em função de costheta; d) demonstrar a identidade cos5theta+cos3theta=2costhetacos4theta. Vamos usar o Teorema de De Moivre, identidades de soma e produto e as fórmulas trigonométricas básicas.

Passo 2

Para obter cos3theta, usamos o Teorema de De Moivre: expandindo (costheta+isintheta)^3 e tomando a parte real, temos cos^3theta-3costhetasin^2theta. Substituindo sin^2theta=1-cos^2theta, chega-se a cos3theta=4cos^3theta-3costheta.

Passo 3

Para cos4theta, começamos com cos2theta=2cos^2theta-1. Então cos4theta=2cos^2(2theta)-1=2(2cos^2theta-1)^2-1. Expandindo, obtemos cos4theta=8cos^4theta-8cos^2theta+1.

Passo 4

Para cos5theta, aplicamos De Moivre em (costheta+isintheta)^5 e tomamos a parte real: cos^5theta-10cos^3thetasin^2theta+5costhetasin^4theta. Substituindo sin^2theta=1-cos^2theta e sin^4theta=(1-cos^2theta)^2, chega-se a cos5theta=16cos^5theta-20cos^3theta+5costheta.

Passo 5

Para sin3theta, usamos a parte imaginária de (costheta+isintheta)^3: 3cos^2thetasintheta-sin^3theta. Como cos^2theta=1-sin^2theta, isso vira sin3theta=3sintheta-4sin^3theta.

Passo 6

Para sin5theta, tomamos a parte imaginária de (costheta+isintheta)^5: 5cos^4thetasintheta-10cos^2thetasin^3theta+sin^5theta. Substituindo cos^2theta=1-sin^2theta e expandindo, obtém-se sin5theta=5sintheta-20sin^3theta+16sin^5theta.

Passo 7

Para sin4theta/sintheta, usamos sin4theta=2sin2thetacos2theta e sin2theta=2sinthetacostheta, cos2theta=2cos^2theta-1. Assim sin4theta=4sinthetacostheta(2cos^2theta-1) e dividindo por sintheta sin4thetasintheta=4costheta(2cos^2theta-1).

Passo 8

Para demonstrar cos5theta+cos3theta=2costhetacos4theta, basta usar a identidade de soma de cossenos: cos A+cos B=2costfracA+B2,costfracA-B2. Com A=5theta e B=3theta vem 2cos4thetacostheta, concluindo a prova.
Alternativamente, somando as expressões de cos5theta=16cos^5theta-20cos^3theta+5costheta e cos3theta=4cos^3theta-3costheta surge 16cos^5theta-16cos^3theta+2costheta=2costheta(8cos^4theta-8cos^2theta+1)=2costhetacos4theta.

Resposta

cos3theta=4cos^3theta-3costheta; cos4theta=8cos^4theta-8cos^2theta+1; cos5theta=16cos^5theta-20cos^3theta+5costheta;
sin3theta=3sintheta-4sin^3theta; sin5theta=5sintheta-20sin^3theta+16sin^5theta;
sin4thetasintheta=4costheta(2cos^2theta-1);
e a identidade cos5theta+cos3theta=2costhetacos4theta.

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