a) Escreva
e
em função de
;
b) Escreva
e sen
em função de
;
c) Escreva
em função de
;
d) Demonstre a identidade
.
b) Escreva
c) Escreva
d) Demonstre a identidade
Passo 1
O enunciado pede: a) expressar
em função de
; b) expressar
e
em função de
; c) escrever
em função de
; d) demonstrar a identidade
. Vamos usar o Teorema de De Moivre, identidades de soma e produto e as fórmulas trigonométricas básicas.
Passo 2
Para obter
, usamos o Teorema de De Moivre: expandindo
e tomando a parte real, temos
. Substituindo
, chega-se a
.
Passo 3
Para
, começamos com
. Então
. Expandindo, obtemos
.
Passo 4
Para
, aplicamos De Moivre em
e tomamos a parte real:
. Substituindo
e
, chega-se a
.
Passo 5
Para
, usamos a parte imaginária de
:
. Como
, isso vira
.
Passo 6
Para
, tomamos a parte imaginária de
:
. Substituindo
e expandindo, obtém-se
.
Passo 7
Para
, usamos
e
,
. Assim
e dividindo por
dá
.
Passo 8
Para demonstrar
, basta usar a identidade de soma de cossenos:
. Com
e
vem
, concluindo a prova.
Alternativamente, somando as expressões de e
surge
.
Alternativamente, somando as expressões de
Resposta
e a identidade