3.5 Mostre que cos pi9 satisfaz à equação 8 x^3-6 x-1=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que x=cospi9 é raiz da equação cúbica 8x^3-6x-1=0. O conteúdo envolve identidades trigonométricas de ângulo triplo.

Passo 2

Vamos usar a identidade de ângulo triplo para o cosseno: cos(3theta)=4cos^3theta-3costheta. Escolhendo theta=pi9, temos cosl(3cdottfracpi9r)=costfracpi3=4cos^3tfracpi9-3costfracpi9.

Passo 3

Como costfracpi3=tfrac12, definindo x=costfracpi9 obtemos
4x^3-3x=tfrac12
Bastou multiplicar ambos os lados por 2 e rearranjar: $ 8x^3-6x-1=0, x=costfracpi9x=\cos\tfrac{\pi}{9}$ satisfaz a equação.

Resposta

8cos^3tfracpi9-6costfracpi9-1=0

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