Escreva a equação do círculo que tem as seguintes características:
passa por (2,3),(-1,7) e(1,5)

Passo 1

O enunciado pede a equação do círculo que passa pelos pontos (2,3), (-1,7) e (1,5). Estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente a equação geral do círculo. Para resolver, vamos usar a forma geral x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 e determinar os parâmetros D, E, F a partir dos três pontos dados.

Passo 2

A forma geral do círculo no plano é
x^2 + y^2 + D x + E y + F = 0
onde D, E, F são constantes desconhecidas. Como temos três pontos, podemos substituí-los nessa equação para criar um sistema linear de três equações.
Substituindo cada ponto, obtemos:
(2)^2 + (3)^2 + 2D + 3E + F = 0, (-1)^2 + (7)^2 - D + 7E + F = 0, (1)^2 + (5)^2 + D + 5E + F = 0
Isso gera o sistema:
13 + 2D + 3E + F = 0, 50 - D + 7E + F = 0, 26 + D + 5E + F = 0

Passo 3

Resolvendo o sistema, subtraímos e isolamos variáveis:
-3D + 4E = -37, -D + 2E = -13
Dessa forma, encontramos
E = -1, D = 11, F = -32
Com esses valores, a equação geral do círculo fica:
x^2 + y^2 + 11x - y - 32 = 0

Passo 4

Para passar à forma centro-raio, lembramos que o centro é (-D/2, -E/2) e o raio satisfaz r^2 = (D/2)^2 + (E/2)^2 - F. Assim:
centro (h,k)=l(-tfrac112,,tfrac12r),
r^2 = l(tfrac112r)^2 + l(-tfrac12r)^2 - (-32) = tfrac1252
Logo, na forma centro-raio, a equação é
(x + tfrac112)^2 + (y - tfrac12)^2 = tfrac1252

Resposta

(x + tfrac112)^2 + (y - tfrac12)^2 = tfrac1252

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