Escreva a equação da reta tangente ao círculo x^2+y^2+14 x+18 y-39=0 no ponto do segundo quadrante deste círculo, tal que x=-2.

Passo 1

A questão dá o círculo x^2+y^2+14x+18y-39=0 e pede a equação da reta tangente a esse círculo no ponto de segundo quadrante em que x=-2. Vamos usar geometria analítica de círculos: obter centro e raio, achar o ponto de tangência, calcular inclinações e usar a forma ponto-inclinação da reta.

Passo 2

Para achar o centro e o raio, completamos quadrados em x e y. Temos:
(x+7)^2 + (y+9)^2 = 169
Portanto o centro é C(-7,-9) e o raio é r=13.

Passo 3

Agora substituímos x=-2 na equação original para descobrir y:
(-2)^2 + y^2 + 14(-2) + 18y -39 = 0
y^2 + 18y -63 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
y = -18 pm raiz324 + 2522 = -18 pm 242
Logo y=3 ou y=-21. Para ficar no segundo quadrante ( x<0, y>0), escolhemos y=3, ou seja o ponto é (-2,3).

Passo 4

O raio até (-2,3) tem inclinação
3 - (-9)-2 - (-7) = 125
Como a reta tangente é perpendicular ao raio, sua inclinação é
m = -512
.

Passo 5

Usando a forma ponto-inclinação com m=-tfrac512 e ponto (-2,3):
y - 3 = -512(x + 2)
Multiplicando por 12 e rearranjando, chega-se à forma geral:
12(y - 3) = -5(x + 2)
5x + 12y - 26 = 0

Resposta

5x + 12y - 26 = 0

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