18. Desafio:
Considere 2 círculos de raios
e
. Quando o círculo de raio
rola, sem deslizar, no exterior do círculo de raio
, um ponto P fixado no círculo do exterior descreve uma curva plana chamada epiciclóide. Considere, inicialmente, o ponto
como o ponto de contato dos 2 círculos.
(a) Visualize as curvas nos casos em que
e
. A primeira curva é chamada cardióide.
(b) O que podemos afirmar sobre o ponto
, quando
e
é um número racional?
Sugestão: escreva
, com
e
números inteiros positivos primos entre si.
(c) O que podemos afirmar sobre o ponto
, quando
e
é um número irracional?
(a) Visualize as curvas nos casos em que
(b) O que podemos afirmar sobre o ponto
Sugestão: escreva
(c) O que podemos afirmar sobre o ponto
Passo 1
O enunciado trata da epiciclóide: curva gerada por um ponto fixo P no círculo de raio r rolando sem deslizar sobre o exterior de um círculo de raio R. Vamos precisar da parametrização desta curva e da condição para que ela seja fechada (isto é, para que P volte à posição inicial).
Passo 2
Quando o círculo de raio r rola sem deslizar no exterior do de raio R, podemos parametrizar a posição de P em função de um ângulo
medido no centro do círculo maior. Se o ponto de contato inicial coincide com P, a parametrização é
Aqui
é o ângulo girado pelo raio que une o centro maior ao ponto de contato.
Passo 3
Para que a curva seja fechada, queremos um
tal que tanto
- o círculo maior tenha girado um número inteiro
de voltas:
e
2) o ângulo adicional de rotação do círculo menor
2) o ângulo adicional de rotação do círculo menor
seja também múltiplo de
, com
inteiros. Esses dois requisitos garantem que P retorne exatamente ao ponto de partida.
Passo 4
Seja agora
com
e
primos entre si. Então
Igualando
resulta em
Ou seja, após
voltas do círculo grande, o ponto P volta à posição inicial, e a epiciclóide fecha formando
cúspides (lóbulos).
Passo 5
Se
for irracional,
também será irracional. Não existem inteiros
que satisfaçam
para o mesmo
. Logo P nunca retorna ao ponto inicial, a curva nunca fecha e, conforme
varia, a trajectória de P fica densa na coroa circular entre raios
e
.
Resposta
(b) Se
com
racional (
primos entre si), então o ponto P retorna à posição inicial após
voltas completas do círculo maior, e a epiciclóide fecha-se formando
cúspides.
(c) Se for irracional, não há inteiros
que façam P voltar ao ponto de partida. A curva nunca fecha e a trajetória de P torna-se densa na coroa entre os raios
e
.
(c) Se