18. Desafio:

Considere 2 círculos de raios r e R. Quando o círculo de raio r rola, sem deslizar, no exterior do círculo de raio R, um ponto P fixado no círculo do exterior descreve uma curva plana chamada epiciclóide. Considere, inicialmente, o ponto P como o ponto de contato dos 2 círculos.
(a) Visualize as curvas nos casos em que r=R, r=R2, r=R3 e r=R4. A primeira curva é chamada cardióide.
(b) O que podemos afirmar sobre o ponto P, quando r=a R e a é um número racional?
Sugestão: escreva a=pq, com p e q números inteiros positivos primos entre si.
(c) O que podemos afirmar sobre o ponto P, quando r=a R e a é um número irracional?

Passo 1

O enunciado trata da epiciclóide: curva gerada por um ponto fixo P no círculo de raio r rolando sem deslizar sobre o exterior de um círculo de raio R. Vamos precisar da parametrização desta curva e da condição para que ela seja fechada (isto é, para que P volte à posição inicial).

Passo 2

Quando o círculo de raio r rola sem deslizar no exterior do de raio R, podemos parametrizar a posição de P em função de um ângulo theta medido no centro do círculo maior. Se o ponto de contato inicial coincide com P, a parametrização é
x(theta)=(R+r)costheta;-,rcosl(R+rr,thetar),
y(theta)=(R+r)sintheta;-,rsinl(R+rr,thetar)
Aqui theta é o ângulo girado pelo raio que une o centro maior ao ponto de contato.

Passo 3

Para que a curva seja fechada, queremos um theta>0 tal que tanto
  1. o círculo maior tenha girado um número inteiro M de voltas:
theta=2pi M,
e
2) o ângulo adicional de rotação do círculo menor
R+rr,theta=2pi N
seja também múltiplo de 2pi, com M,N inteiros. Esses dois requisitos garantem que P retorne exatamente ao ponto de partida.

Passo 4

Seja agora r=aR com a=tfrac p q e p,q primos entre si. Então
R+rr=R+tfracpqR(p/q)R=1+aa=1+tfrac p qtfrac p q=p+qp
Igualando
R+rr,theta=2pi Netheta=2pi M
resulta em
p+qp,M=NLongrightarrow M=p, ;N=p+q
Ou seja, após M=p voltas do círculo grande, o ponto P volta à posição inicial, e a epiciclóide fecha formando N=p+q cúspides (lóbulos).

Passo 5

Se a for irracional, (1+a)/a também será irracional. Não existem inteiros M,N que satisfaçam
R+rr,theta=2pi Netheta=2pi M
para o mesmo theta>0. Logo P nunca retorna ao ponto inicial, a curva nunca fecha e, conforme theta varia, a trajectória de P fica densa na coroa circular entre raios R-r e R+r.

Resposta

(b) Se r=aR com a=tfrac p q racional ( p,q primos entre si), então o ponto P retorna à posição inicial após p voltas completas do círculo maior, e a epiciclóide fecha-se formando p+q cúspides.
(c) Se a for irracional, não há inteiros M,N que façam P voltar ao ponto de partida. A curva nunca fecha e a trajetória de P torna-se densa na coroa entre os raios R-r e R+r.

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