No espaço R^2 achar a matriz de mudança da base B=(1,3),(1,-2) para a base C=(3,5),(1,2), e da base C para a base B.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a matriz de mudança de base de B para C e também a de C para B em R^2.
Conteúdo: representação matricial de vetores em bases e cálculo de mudança de base via inversa de matrizes.

Passo 2

Seja MB a matriz cujas colunas são os vetores de B escritos na base canônica, e análogamente MC para C. Então, para um vetor xinR^2, suas coordenadas satisfazem
[x]rm can = MB,[x]B e [x]rm can = MC,[x]C
Logo, para converter coordenadas de B em coordenadas de C usamos
[x]C = MC^-1,MB,[x]B,
isto é,
PC B ;=; MC^-1,MB

Passo 3

Escrevendo as colunas:
MB = 1 & 1 3 & -2 , MC = 3 & 1 5 & 2

Passo 4

Calculamos det(MC) e MC^-1:
det(MC)=3cdot2 - 1cdot5 =1, MC^-1 = 2 & -1 -5 & 3

Passo 5

Agora
PC B = MC^-1,MB = 2 & -1 -5 & 3 1 & 1 3 & -2 = 2cdot1 + (-1)cdot3 & 2cdot1 + (-1)cdot(-2) -5cdot1 + 3cdot3 & -5cdot1 + 3cdot(-2) = -1 & 4 4 & -11

Passo 6

Para ir de C para B basta inverter PC B (ou usar MB^-1MC). Tomando
det(PC B) = (-1)(-11) - 4cdot4 = -5,
temos
PB C =l(PC Br)^-1 =1-5 -11 & -4 -4 & -1 = tfrac115 & tfrac45 tfrac45 & tfrac15

Resposta

A matriz de mudança de base de B para C é
PC B = -1 & 4 4 & -11 ,
e de C para B é
PB C = 115 & 45 45 & 15

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