Rotacione os eixos coordenados x y por um ângulo theta=60^circ no plano, no sentido anti-horário, para obter novos eixos coordenados x^prime y^prime. Encontre as coordenadas x^prime y^prime do ponto cujas coordenadas x y são (3,2).
Faça um esboço geométrico dos eixos com respectivos pontos.

Passo 1

O enunciado pede para girar os eixos coordenados (x,y) por um ângulo theta=60^circ sentido anti-horário, obtendo eixos (x',y'), e então encontrar as coordenadas (x',y') de um ponto que em (x,y) vale (3,2).
Conteúdo: transformação de coordenadas sob rotação de eixos. Vamos usar trigonometria e projeções.

Passo 2

Quando giramos os eixos contra-relógio em theta, as novas coordenadas (x',y') de um ponto (x,y) vêm das projeções deste ponto sobre os eixos girados. As fórmulas são
x' = xcostheta + ysintheta, y' = -,xsintheta + ycostheta

Passo 3

Aplicando theta=60^circ, temos cos60^circ=tfrac12 e sin60^circ=tfracraiz32. Logo
x' = 3cdot12 + 2cdotraiz32 = 32 + 2raiz32 = 3 + 2raiz32,
y' = -,3cdotraiz32 + 2cdot12 = -,3raiz32 + 1 = 1 - 3raiz32

Passo 4

Portanto as coordenadas no sistema girado são
l(x',y'r) = l(,tfrac3 + 2raiz32,;1 - tfrac3raiz32r)

Passo 5

Esboço geométrico (qualitativo) dos eixos originais (x,y), dos eixos girados (x',y') e do ponto P:
                     y
                     |
                     |     P(3,2)
                     |      *
                     |
            y'      /
            /      /
           /      /
          O------/--------- x
               /
             x'
Legenda do esboço:
  • Linha vertical e horizontal formam os eixos originais y e x.
  • Linha inclinada em 60^circ para cima é o eixo x'; sua perpendicular é y'.
  • O ponto P marcado com “ *” é (3,2) no antigo sistema. As projeções de P sobre x' e y' dão as distâncias x' e y' calculadas acima.

Resposta

(x',y') = l(tfrac3 + 2raiz32,;1 - tfrac3raiz32r)

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