13 O estrôncio-90 radioativo, { }^{90} \mathrm{Sr}, com meia-vida de 29 anos, pode causar câncer ósseo em seres humanos. A substância é transportada pela chuva, penetra no solo e passa à cadeia de produtos alimentícios. Estima-se que, em determinado cam-
po, o nível de radioatividade seja 2,5 vezes o nível de segurança S. Durante quantos anos, apoximadamente, o campo permanecerá contaminado?

Passo 1

O enunciado trata do decaimento radioativo do estrôncio-90, cuja meia-vida é de 29 anos. Inicialmente o nível de radioatividade no campo é 2{,}5 vezes o nível de segurança S. Queremos saber em que tempo t a atividade decairá até atingir S. O modelo a usar é o decaimento exponencial com meia-vida.

Passo 2

No decaimento exponencial, a atividade no tempo t é dada por
A(t)=A_0\cdot\bigl(\tfrac12\bigr)^{t/T_{1/2}},
onde A_0 é a atividade inicial e T_{1/2} a meia-vida.

Passo 3

Aqui temos A_0=2{,}5\,S e T_{1/2}=29 anos. Queremos A(t)=S, logo
2{,}5\,S\;\bigl(\tfrac12\bigr)^{t/29}=S.

Passo 4

Dividindo ambos os lados por S e isolando o fator de decaimento,
2{,}5\;\bigl(\tfrac12\bigr)^{t/29}=1 \quad\Longrightarrow\quad \bigl(\tfrac12\bigr)^{t/29}=\tfrac1{2{,}5}.
Tomando logaritmo natural,
\frac{t}{29}=\frac{\ln(1/2{,}5)}{\ln(1/2)},
então
t = 29\;\frac{\ln(1/2{,}5)}{\ln(1/2)}.

Passo 5

Calculando numericamente
t \approx 29\;\frac{\ln(0{,}4)}{\ln(0{,}5)} \approx 29\;\frac{-0{,}9163}{-0{,}6931} \approx 38{,}3\text{ anos}.

Resposta

O campo permanecerá contaminado por aproximadamente 38 anos.

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