7 Um termômetro externo registra uma temperatura de 40^{\circ} \mathrm{F}. Cinco minutos após ser introduzido em uma sala onde a temperatura é de 70^{\circ} \mathrm{F}, o termômetro registra 60^{\circ} \mathrm{F}. Quando registrará 65^{\circ} \mathrm{F} ?

Passo 1

O enunciado diz que um termômetro, cuja temperatura inicial é de 40^\circ\mathrm{F}, é colocado em uma sala com temperatura ambiente de 70^\circ\mathrm{F}. Após 5 minutos ele marca 60^\circ\mathrm{F}. Pergunta-se em que instante ele marcará 65^\circ\mathrm{F}.
Conteúdo: Lei de resfriamento de Newton, que leva à equação diferencial
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T - T_a\bigr).
Vamos usar a solução geral dessa equação, determinar a constante k pela condição em 5 minutos e depois encontrar o tempo para T=65^\circ\mathrm{F}.

Passo 2

A solução geral da lei de Newton é
T(t) = T_a + \bigl(T(0)-T_a\bigr)e^{-k t}.
Aqui T_a=70^\circ\mathrm{F} e T(0)=40^\circ\mathrm{F}, logo
T(t) = 70 - 30\,e^{-k t}.

Passo 3

Usamos a condição T(5)=60^\circ\mathrm{F}:
60 = 70 - 30\,e^{-5k} \quad\Longrightarrow\quad 30\,e^{-5k}=10 \quad\Longrightarrow\quad e^{-5k}=\tfrac13.
Tomando logaritmo,
-5k = \ln\!\bigl(\tfrac13\bigr) = -\ln 3 \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{\ln 3}{5}.

Passo 4

Agora impomos T(t)=65^\circ\mathrm{F}:
65 = 70 - 30\,e^{-k t} \quad\Longrightarrow\quad 30\,e^{-k t}=5 \quad\Longrightarrow\quad e^{-k t}=\tfrac16
-k t = \ln\!\bigl(\tfrac16\bigr) = -\ln 6 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{\ln 6}{k}.
Como k=\tfrac{\ln 3}{5},
t = 5\,\frac{\ln 6}{\ln 3} \approx 5 \times \frac{1,79176}{1,09861} \approx 8,16.

Resposta

O termômetro marcará 65^\circ\mathrm{F} aproximadamente 8,16 minutos após ser introduzido na sala.

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