8 A taxa na qual o sal se dissolve na água é diretamente proporcional à quantidade que permanece não dissolvida. Se são colocados 5 quilos de sal em uma vasilha com água e se 2 quilos se dissolvem em 20 minutos, quanto tempo será necessário para que mais 1 quilo se dissolva?
Passo 1
O enunciado diz que a velocidade de dissolução do sal é proporcional à quantidade que ainda não se dissolveu. Temos inicialmente
kg de sal, dos quais
kg se dissolvem em
min. Queremos descobrir quanto tempo a mais (além desses
min) é preciso para dissolver mais
kg, ou seja, para que
kg estejam dissolvidos (restando
kg não dissolvidos). Para isso, vamos modelar o problema como decaimento exponencial.
Passo 2
Chamando de
a massa de sal não dissolvida no instante
(em minutos), a hipótese “taxa de dissolução é proporcional ao que resta” traduz-se na equação diferencial
onde
é a constante de proporcionalidade. A solução geral dessa equação é
Como
kg, temos
Passo 3
Usamos o dado de que em
min restam
kg não dissolvidos. Logo,
Passo 4
Agora queremos o instante
em que restam
kg não dissolvidos, isto é,
Passo 5
Substituindo
em
e calculando o tempo adicional
, obtemos
Passo 6
Calculando numericamente,
logo
Resposta
Serão necessários aproximadamente
minutos a mais para que se dissolva mais
kg de sal.