8 A taxa na qual o sal se dissolve na água é diretamente proporcional à quantidade que permanece não dissolvida. Se são colocados 5 quilos de sal em uma vasilha com água e se 2 quilos se dissolvem em 20 minutos, quanto tempo será necessário para que mais 1 quilo se dissolva?

Passo 1

O enunciado diz que a velocidade de dissolução do sal é proporcional à quantidade que ainda não se dissolveu. Temos inicialmente 5 kg de sal, dos quais 2 kg se dissolvem em 20 min. Queremos descobrir quanto tempo a mais (além desses 20 min) é preciso para dissolver mais 1 kg, ou seja, para que 3 kg estejam dissolvidos (restando 2 kg não dissolvidos). Para isso, vamos modelar o problema como decaimento exponencial.

Passo 2

Chamando de U(t) a massa de sal não dissolvida no instante t (em minutos), a hipótese “taxa de dissolução é proporcional ao que resta” traduz-se na equação diferencial
\frac{dU}{dt} = -k\,U(t),
onde k>0 é a constante de proporcionalidade. A solução geral dessa equação é
U(t) = U(0)\,e^{-k t}.
Como U(0)=5 kg, temos
U(t) = 5\,e^{-k t}.

Passo 3

Usamos o dado de que em t=20 min restam 5-2=3 kg não dissolvidos. Logo,
3 = 5\,e^{-k\cdot20} \quad\Longrightarrow\quad e^{-20k} = \frac{3}{5} \quad\Longrightarrow\quad k = -\frac{1}{20}\ln\!\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr) = \frac{1}{20}\ln\!\bigl(\tfrac{5}{3}\bigr).

Passo 4

Agora queremos o instante T em que restam 5-3=2 kg não dissolvidos, isto é,
2 = 5\,e^{-kT} \quad\Longrightarrow\quad e^{-kT} = \frac{2}{5} \quad\Longrightarrow\quad T = -\frac{1}{k}\ln\!\bigl(\tfrac{2}{5}\bigr) = \frac{\ln(5/2)}{k}.

Passo 5

Substituindo k = \tfrac{1}{20}\ln(5/3) em T e calculando o tempo adicional \Delta t = T - 20, obtemos
T = 20\,\frac{\ln(\tfrac{5}{2})}{\ln(\tfrac{5}{3})}, \quad \Delta t = T - 20 = 20\!\left(\frac{\ln(\tfrac{5}{2})}{\ln(\tfrac{5}{3})} - 1\right) = 20\,\frac{\ln(\tfrac{3}{2})}{\ln(\tfrac{5}{3})}.

Passo 6

Calculando numericamente,
\frac{\ln(\tfrac{3}{2})}{\ln(\tfrac{5}{3})} \approx 0{,}794,
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\Delta t \approx 20 \times 0{,}794 = 15{,}88\text{ minutos}.

Resposta

Serão necessários aproximadamente 15{,}9 minutos a mais para que se dissolva mais 1 kg de sal.

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