Dê exemplo de um cone convexo que não seja simétrico e um cone simétrico que não seja convexo.
Passo 1
O enunciado pede para dar um exemplo de um cone que seja convexo mas não tenha simetria de revolução (não seja um “cone reto”) e um exemplo de um cone que tenha simetria de revolução mas não seja um conjunto convexo.
Passo 2
Um exemplo de cone convexo que não é simétrico: o cone gerado pelos vetores (1,0,0) e (0,1,1) em ℝ³, isto é, o conjunto
Esse conjunto é convexo por ser uma combinação cônica de dois vetores, mas não é simétrico em torno de nenhum eixo (é um cone oblíquo).
Passo 3
Um exemplo de cone simétrico que não é convexo: o cone duplo de revolução em torno do eixo z, dado por
Esse conjunto é simétrico de revolução em torno do eixo z (cada seção por z=const é um círculo), porém não é convexo: por exemplo, os pontos (1,0,1) e (1,0,-1) pertencem a C₂, mas seu ponto médio (1,0,0) não satisfaz 1²+0²=0², logo sai de C₂.
Resposta
Um cone convexo mas não simétrico é
e um cone simétrico mas não convexo é