Dê exemplo de um cone convexo que não seja simétrico e um cone simétrico que não seja convexo.

Passo 1

O enunciado pede para dar um exemplo de um cone que seja convexo mas não tenha simetria de revolução (não seja um “cone reto”) e um exemplo de um cone que tenha simetria de revolução mas não seja um conjunto convexo.

Passo 2

Um exemplo de cone convexo que não é simétrico: o cone gerado pelos vetores (1,0,0) e (0,1,1) em ℝ³, isto é, o conjunto
C1=alpha(1,0,0)+beta(0,1,1):alpha,beta>=0
Esse conjunto é convexo por ser uma combinação cônica de dois vetores, mas não é simétrico em torno de nenhum eixo (é um cone oblíquo).

Passo 3

Um exemplo de cone simétrico que não é convexo: o cone duplo de revolução em torno do eixo z, dado por
C2=(x,y,z)in R^3:x^2+y^2=z^2
Esse conjunto é simétrico de revolução em torno do eixo z (cada seção por z=const é um círculo), porém não é convexo: por exemplo, os pontos (1,0,1) e (1,0,-1) pertencem a C₂, mas seu ponto médio (1,0,0) não satisfaz 1²+0²=0², logo sai de C₂.

Resposta

Um cone convexo mas não simétrico é
C1=alpha(1,0,0)+beta(0,1,1):alpha,beta>=0,
e um cone simétrico mas não convexo é
C2=(x,y,z):x^2+y^2=z^2

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