Prove que a reunião de dois subespaços vetoriais de E é um subespaço vetorial se, e somente se, um deles estiver contido no outro.
2.23. A partir da definição, prove que, dados os números a1, ldots, an, c, o conjunto V dos vetores x=(x1, ldots, xn) in R^n tais que a1 x1+cdots+ an chin=c é um subespaço vetorial de R^n se, e somente se, c=0. Prove a afirmação feita no texto de que V é uma variedade afim.
2.24. Seja F um subespaço vetorial de E. Assinale V(erdadeiro) ou F(also):
( ) Se u notin F e v notin F então u+v notin F;
( ) Se u notin F e alpha neq 0 então alpha u notin F.
2.25. Diz-se que um subconjunto X de um espaço vetorial E é simétrico quando v in X Rightarrow-v in X. Prove que um cone convexo simétrico e não-vazio é um subespaço vetorial de E.
2.26. Dê exemplo de um cone convexo que não seja simétrico e um cone simétrico que não seja convexo.
2.27. Uma matriz quadrada a=[aij] chama-se simétrica (respect. anti-simétrica) quando ai j=aj i (respect. ai j=-aj i ) para todo i e todo j. Prove que o conjunto S das matrizes simétricas e o conjunto A das matrizes anti-simétricas n times n são subespaços vetoriais de M(n times n) e que se tem M(n times n)=S oplus A.

Passo 1

O enunciado reúne vários exercícios sobre subespaços vetoriais, cones e matrizes (conteúdos: união de subespaços, hiperplanos em R^n, affineidades, simetria, convexidade, e decomposição em matrizes simétricas e antissimétricas). Vamos provar cada item seguindo a definição de subespaço e as propriedades pedidas.

Passo 2

(2.22) Para dois subespaços F e G de E, provar que Fcup G é subespaço iff um está contido no outro:
Suponha primeiro que Fsubset G. Então Fcup G=G, que é subespaço. Se Gsubset F, análogo.
Agora, se Fcup G é subespaço, ele é fechado sob soma. Tome uin Fsetminus G e vin Gsetminus F hipotéticos. Ambos estão em Fcup G, mas u+v deve ficar em Fcup G. Se nem em F nem em G, contração. Assim não podem existir u,v em apenas um sem estar no outro. Logo um subespaço deve conter o outro.

Passo 3

(2.23) Seja
V=x=(x1,dots,xn)in R^n:a1x1+cdots+anxn=c
I) Se c=0, então a condição é linear homogênea. Mostra-se que:
  • 0 satisfaz acdot0=0.
  • Se x,yin V, então acdot(x+y)=acdot x+acdot y=0+0=0.
  • Se xin V, lambda x satisfaz acdot(lambda x)=lambda(acdot x)=0.
    Logo subespaço.
    II) Se cneq0, note que 0 não satisfaz e não há fechamento homogênea, então não é subespaço.
    Afirmação de variedade afim: quando cneq0, V é um hiperplano paralelo ao subespaço V0=acdot x=0. Ou seja,
$ V=V0+v0, v0v_0 acdot v0=ca\cdot v_0=c$. Isso define uma variedade afim.

Passo 4

(2.24) Primeiro item: “Se unotin F e vnotin F então u+vnotin F”. Isso é falso: basta escolher em R^2 o subespaço F=(x,0). Tome u=(1,1)notin F e v=(-1,1)notin F, mas u+v=(0,2)notin F? Na verdade (0,2)notin F. Para contraexemplo melhor: u=(1,1),v=(1,-1). Ambos não estão em F, porém u+v=(2,0)in F. Logo item é Falso.
Segundo item: “Se unotin F e alphaneq0 então alpha unotin F”. Isso é Verdadeiro porque subespaço é estável por escalares não-nulos: unotin F implica alpha unotin F, caso contrário dividindo por alpha teríamos uin F, contradição.

Passo 5

(2.25) Seja C um cone convexo simétrico não-vazio em E.
  • Cone implica: se xin C e t>0 então txin C.
  • Simétrico: xin CRightarrow -xin C.
  • Não-vazio garante algum xin C.
    Para provar que C é subespaço:
  1. Fechamento por escalar negativo: dado t<0 e xin C, então -t>0 e -xin C. Como cone, (-t)(-x)=t xin C.
  2. Fechamento por soma: sejam u,vin C. Como cone, uin C, vin C e convexidade dá para 12u+12vin C. Mas C sendo cone, multiplicando por 2 (que é >0) entra u+v=2(tfrac12u+tfrac12v)in C.
  3. Zero: de xin C e simetria, x+(-x)=0in C.
    Portanto C é subespaço.

Passo 6

(2.26) Exemplo de cone convexo não simétrico: o ortante positivo em ,
que é convexo e cone, mas mesmo que .
Exemplo de cone simétrico não convexo: em
que é cone (fechado por escalares), simétrico, mas não convexo: , porém pois .

Passo 7

(2.27) No espaço de todas as matrizes :
  • Seja . Verifica-se que soma e escala de matrizes simétricas são simétricas e a matriz zero é simétrica. Logo é subespaço.
  • Seja . Análogo: soma e escala preservam antissimetria, e zero é antissimétrica. Assim é subespaço.
  • Para todo , definimos
Então , e
M(n\times n)=S\oplus A.$$

Resposta

(2.22) F\cup G é subespaço ⇔ F⊆G ou G⊆F.
(2.23) V={x: a·x=c} é subespaço ⇔ c=0. Para c≠0, V é variedade afim (hiperplano paralelo a {a·x=0}).
(2.24) Primeiro item: Falso; segundo item: Verdadeiro.
(2.25) Um cone convexo simétrico não-vazio é subespaço por fechamento em soma e escalares negativos.
(2.26) Ex.: C₁={(x,y):x≥0,y≥0} é convexo cone não simétrico; C₂={(x,y):xy>0} é cone simétrico não convexo.
(2.27) Conjuntos de matrizes simétricas S e antissimétricas A são subespaços, e M(n×n)=S⊕A via decomposição M=(M+Mᵀ)/2+(M−Mᵀ)/2.

Exercícios de Livros Relacionados