Prove que a reunião de dois subespaços vetoriais de E é um subespaço vetorial se, e somente se, um deles estiver contido no outro.
2.23. A partir da definição, prove que, dados os números
, o conjunto
dos vetores
tais que
é um subespaço vetorial de
se, e somente se,
. Prove a afirmação feita no texto de que
é uma variedade afim.
2.24. Seja F um subespaço vetorial de E. Assinale V(erdadeiro) ou F(also):
( ) Se
e
então
;
( ) Se
e
então
.
2.25. Diz-se que um subconjunto
de um espaço vetorial
é simétrico quando
. Prove que um cone convexo simétrico e não-vazio é um subespaço vetorial de
.
2.26. Dê exemplo de um cone convexo que não seja simétrico e um cone simétrico que não seja convexo.
2.27. Uma matriz quadrada
chama-se simétrica (respect. anti-simétrica) quando
(respect.
) para todo
todo
. Prove que o conjunto
das matrizes simétricas e o conjunto A das matrizes anti-simétricas
são subespaços vetoriais de
e que se tem
.
2.23. A partir da definição, prove que, dados os números
2.24. Seja F um subespaço vetorial de E. Assinale V(erdadeiro) ou F(also):
( ) Se
( ) Se
2.25. Diz-se que um subconjunto
2.26. Dê exemplo de um cone convexo que não seja simétrico e um cone simétrico que não seja convexo.
2.27. Uma matriz quadrada
Passo 1
O enunciado reúne vários exercícios sobre subespaços vetoriais, cones e matrizes (conteúdos: união de subespaços, hiperplanos em
, affineidades, simetria, convexidade, e decomposição em matrizes simétricas e antissimétricas). Vamos provar cada item seguindo a definição de subespaço e as propriedades pedidas.
Passo 2
(2.22) Para dois subespaços
e
de
, provar que
é subespaço
um está contido no outro:
Suponha primeiro que . Então
, que é subespaço. Se
, análogo.
Agora, se é subespaço, ele é fechado sob soma. Tome
e
hipotéticos. Ambos estão em
, mas
deve ficar em
. Se nem em
nem em
, contração. Assim não podem existir
em apenas um sem estar no outro. Logo um subespaço deve conter o outro.
Suponha primeiro que
Agora, se
Passo 3
(2.23) Seja
I) Se
, então a condição é linear homogênea. Mostra-se que:
- 0 satisfaz
. - Se
, então . - Se
, satisfaz .
Logo subespaço.
II) Se, note que 0 não satisfaz e não há fechamento homogênea, então não é subespaço.
Afirmação de variedade afim: quando, é um hiperplano paralelo ao subespaço . Ou seja,
$
v_0
a\cdot v_0=c$. Isso define uma variedade afim.
Passo 4
(2.24) Primeiro item: “Se
e
então
”. Isso é falso: basta escolher em
o subespaço
. Tome
e
, mas
? Na verdade
. Para contraexemplo melhor:
. Ambos não estão em
, porém
. Logo item é Falso.
Segundo item: “Se e
então
”. Isso é Verdadeiro porque subespaço é estável por escalares não-nulos:
implica
, caso contrário dividindo por
teríamos
, contradição.
Segundo item: “Se
Passo 5
(2.25) Seja
um cone convexo simétrico não-vazio em
.
- Cone implica: se
e então . - Simétrico:
. - Não-vazio garante algum
.
Para provar queé subespaço:
- Fechamento por escalar negativo: dado
e , então e . Como cone, . - Fechamento por soma: sejam
. Como cone, e convexidade dá para . Mas sendo cone, multiplicando por 2 (que é >0) entra . - Zero: de
e simetria, .
Portantoé subespaço.
Passo 6
(2.26) Exemplo de cone convexo não simétrico: o ortante positivo em
,
que é convexo e cone, mas
mesmo que
.
Exemplo de cone simétrico não convexo: em
Exemplo de cone simétrico não convexo: em
que é cone (fechado por escalares), simétrico, mas não convexo:
, porém
pois .
Passo 7
(2.27) No espaço de todas as matrizes
:
- Seja
. Verifica-se que soma e escala de matrizes simétricas são simétricas e a matriz zero é simétrica. Logo é subespaço. - Seja
. Análogo: soma e escala preservam antissimetria, e zero é antissimétrica. Assim é subespaço. - Para todo
, definimos
Então
,
e
M(n\times n)=S\oplus A.$$
Resposta
(2.22) F\cup G é subespaço ⇔ F⊆G ou G⊆F.
(2.23) V={x: a·x=c} é subespaço ⇔ c=0. Para c≠0, V é variedade afim (hiperplano paralelo a {a·x=0}).
(2.24) Primeiro item: Falso; segundo item: Verdadeiro.
(2.25) Um cone convexo simétrico não-vazio é subespaço por fechamento em soma e escalares negativos.
(2.26) Ex.: C₁={(x,y):x≥0,y≥0} é convexo cone não simétrico; C₂={(x,y):xy>0} é cone simétrico não convexo.
(2.27) Conjuntos de matrizes simétricas S e antissimétricas A são subespaços, e M(n×n)=S⊕A via decomposição M=(M+Mᵀ)/2+(M−Mᵀ)/2.
(2.23) V={x: a·x=c} é subespaço ⇔ c=0. Para c≠0, V é variedade afim (hiperplano paralelo a {a·x=0}).
(2.24) Primeiro item: Falso; segundo item: Verdadeiro.
(2.25) Um cone convexo simétrico não-vazio é subespaço por fechamento em soma e escalares negativos.
(2.26) Ex.: C₁={(x,y):x≥0,y≥0} é convexo cone não simétrico; C₂={(x,y):xy>0} é cone simétrico não convexo.
(2.27) Conjuntos de matrizes simétricas S e antissimétricas A são subespaços, e M(n×n)=S⊕A via decomposição M=(M+Mᵀ)/2+(M−Mᵀ)/2.