Exiba uma base para a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo e determine seu posto.
C: R^3 R^3, C(x, y, z)=(x+3 y, 2 y+4 z, x+y-4 z)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma base para a imagem (coluna do operador) de C e determinar o posto (a dimensão dessa imagem). O conteúdo é teoria de transformações lineares, mais especificamente a imagem (ou espaço coluna) de uma transformação e como computar seu posto usando representação matricial.

Passo 2

Para achar a matriz de C na base canônica, aplicamos C aos vetores padrão de ℝ³: C(1,0,0), C(0,1,0) e C(0,0,1).
Calculando:
C(1,0,0) = (1+3·0, 2·0+4·0, 1+0−4·0) = (1,0,1),
C(0,1,0) = (0+3·1, 2·1+4·0, 0+1−4·0) = (3,2,1),
C(0,0,1) = (0+3·0, 2·0+4·1, 0+0−4·1) = (0,4,−4).

Passo 3

Logo, a imagem de C é o subespaço gerado pelas colunas da matriz
Ou seja, [\operatorname{Im}(C)=\operatorname{span}{(1,0,1),(3,2,1),(0,4,-4)}.
Para extrair uma base, verificamos independência linear. Há coeficientes tais que
leva ao sistema
Da segunda equação , e de fato . Isso mostra dependência, logo basta dois vetores independentes, por exemplo e .)

Passo 4

Assim, uma base para Im(C) é (1,0,1),(3,2,1). O número de vetores dessa base é 2, que é exatamente o posto de C.

Resposta

Base da imagem: (1,0,1),,(3,2,1). Posto de C: 2.

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