Obtenha uma base para o subespaço vetorial gerado por cada um dos seguintes conjuntos e, conseqüentemente, determine a dimensão daquele subespaço:
x^3+2 x^2+3 x+4,5 x^3+4 x^2+3 x+2,4 x^3-2 x^2+x, 7 x^3+2 x^2-3 x-8

Passo 1

O enunciado pede para achar uma base e a dimensão do subespaço de P3 gerado por quatro polinômios dados. O conteúdo é determinar independência linear num espaço de dimensão 4, usando coordenações e eliminação de Gauss.

Passo 2

Vamos representar cada polinômio como um vetor em R^4 na base x^3,x^2,x,1. Assim:
p1 = x^3+2x^2+3x+4 longrightarrow (1,2,3,4),
p2 = 5x^3+4x^2+3x+2 longrightarrow (5,4,3,2),
p3 = 4x^3-2x^2+x longrightarrow (4,-2,1,0),
p4 = 7x^3+2x^2-3x-8 longrightarrow (7,2,-3,-8)

Passo 3

Em seguida montamos a matriz cujas linhas são esses vetores e aplicamos eliminação de Gauss:
1 & 2 & 3 & 4 5 & 4 & 3 & 2 4 & -2 & 1 & 0 7 & 2 & -3 & -8 xrightarrowGauss 1 & 0 & 0 & -tfrac49 0 & 1 & 0 & -tfrac19 0 & 0 & 1 & tfrac149 0 & 0 & 0 & 0

Passo 4

Da forma reduzida vemos que há 3 pivôs, logo o posto (rank) é 3. Isso significa que exatamente 3 dos polinômios iniciais são independentes.

Passo 5

Como as três primeiras linhas não viraram zero, podemos tomar p1,p2,p3 como base do subespaço gerado, e a dimensão é 3.

Resposta

Uma base é x^3+2x^2+3x+4,;5x^3+4x^2+3x+2,;4x^3-2x^2+x e a dimensão do subespaço é 3.

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