Obtenha uma base para o subespaço vetorial gerado por cada um dos seguintes conjuntos e, conseqüentemente, determine a dimensão daquele subespaço:
Passo 1
O enunciado pede para achar uma base e a dimensão do subespaço de gerado por quatro polinômios dados. O conteúdo é determinar independência linear num espaço de dimensão 4, usando coordenações e eliminação de Gauss.
Passo 2
Vamos representar cada polinômio como um vetor em na base . Assim:
Passo 3
Em seguida montamos a matriz cujas linhas são esses vetores e aplicamos eliminação de Gauss:
Passo 4
Da forma reduzida vemos que há 3 pivôs, logo o posto (rank) é 3. Isso significa que exatamente 3 dos polinômios iniciais são independentes.
Passo 5
Como as três primeiras linhas não viraram zero, podemos tomar p1,p2,p3 como base do subespaço gerado, e a dimensão é 3.
Resposta
Uma base é x^3+2x^2+3x+4,;5x^3+4x^2+3x+2,;4x^3-2x^2+x e a dimensão do subespaço é 3.
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Elon Lages Lima - Algebra Linear - 1ª Edição - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 9.8.b