Ache uma base para o núcleo de cada uma das transformações lineares a seguir:
.
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos a transformação linear
que leva um polinômio
em
, com
. O conteúdo aqui é núcleo (kernel) de uma transformação linear e precisamos usar a definição de núcleo para polinômios.
Passo 2
Definição de núcleo: Por definição, $
p
T§(x)=p(x+m)$ é o polinômio nulo.
Passo 3
Análise da condição
: Se o polinômio
é nulo para todo
, então
é o polinômio zero. Como a mudança de variável
não altera o fato de um polinômio ser zero ou não, concluímos que
também precisa ser o polinômio zero. Portanto, o único elemento em
é o polinômio zero.
Passo 4
Como o núcleo é o subespaço trivial
, a sua base é o conjunto vazio. Isso porque não há nenhum vetor não nulo necessário para gerar apenas o vetor zero.
Resposta
Uma base para
é o conjunto vazio.