Ache uma base para o núcleo de cada uma das transformações lineares a seguir:
T: P P, T cdot p(x)=p(x+m), m neq 0.

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a transformação linear T:PtoP que leva um polinômio p(x) em T(p)(x)=p(x+m), com mneq0. O conteúdo aqui é núcleo (kernel) de uma transformação linear e precisamos usar a definição de núcleo para polinômios.

Passo 2

Definição de núcleo: Por definição, $ ker(T)=pinPmid T(p)=0, pôp T(p)(x)=p(x+m)T§(x)=p(x+m)$ é o polinômio nulo.

Passo 3

Análise da condição p(x+m)=0: Se o polinômio q(x)=p(x+m) é nulo para todo x, então q é o polinômio zero. Como a mudança de variável xmapsto x+m não altera o fato de um polinômio ser zero ou não, concluímos que p também precisa ser o polinômio zero. Portanto, o único elemento em ker(T) é o polinômio zero.

Passo 4

Como o núcleo é o subespaço trivial 0, a sua base é o conjunto vazio. Isso porque não há nenhum vetor não nulo necessário para gerar apenas o vetor zero.

Resposta

Uma base para ker(T) é o conjunto vazio.

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