Sejam A um anel, a e belementos de A e m e n inteiros. Verifique que:
a) (m cdot n) a=m(n a)

Passo 1

A questão pede para mostrar que, num anel A, para quaisquer inteiros m e n e elemento a em A, vale a igualdade (mcdot n),a = m,(n,a). O conteúdo que vamos usar é a definição de múltiplo inteiro de um elemento em um anel, baseada em soma repetida, e as propriedades associativa e comutativa da adição.

Passo 2

Começamos lembrando a definição de múltiplo inteiro: para todo inteiro k e elemento a de A, define-se
k,a = a + a + cdots + a &se k>0,0&se k=0,-(|k|,a)&se k<0,
onde |k|,a é a soma de |k| cópias de a.

Passo 3

Supondo primeiro m>0 e n>0, temos
(mcdot n),a = underbracea + a + cdots + am,n vezes
Agrupando essas m,n somas em m blocos de n parcelas cada, cada bloco soma a+cdots+a (n vezes), que por definição é n,a. Logo a soma total fica
underbrace(n,a)+(n,a)+cdots+(n,a)m vezes = m,(n,a)

Passo 4

Se m ou n forem zero ou negativos, a propriedade segue da definição de múltiplo inteiro e das regras de anel para soma e inverso aditivo. Em todas as situações, chega-se à mesma igualdade (mcdot n),a = m,(n,a).

Resposta

A igualdade (mcdot n),a = m,(n,a) vale para quaisquer inteiros m, n e qualquer elemento a em A.

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