5.3.13 Se A for uma matriz hermitiana, as matrizes A+i I e A-i I serão invertíveis? Por quê?

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz hermitiana e pergunta se as matrizes A + iI e A - iI são invertíveis. Vamos usar propriedades de matrizes hermitianas, autovalores e o critério de invertibilidade via espectro.

Passo 2

Uma matriz hermitiana satisfaz A = A^*. Isso implica que
  1. Todos os seus autovalores lambdaj são reais, isto é, lambdaj in R.
  2. A é diagonalizável por uma matriz unitária U, ou seja,
A = U ,diag(lambda1,dots,lambdan), U^*

Passo 3

Se vneq 0 é autovetor de A com autovalor lambda, então
(A + iI)v = Av + iIv = lambda v + i v = (lambda + i),v
Logo os autovalores de A + iI são exatamente lambdaj + i. Como cada lambdaj é real, lambdaj + ineq 0. Portanto
det(A + iI) = prodj=1^n (lambdaj + i)neq 0,
o que garante que A + iI é invertível.

Passo 4

De modo análogo,
(A - iI)v = (lambda - i),v,
e como lambdaj - ineq 0 para todo lambdajinR, segue
det(A - iI) = prodj=1^n (lambdaj - i)neq 0
Logo A - iI também é invertível.

Resposta

Sim. Tanto A + iI quanto A - iI são invertíveis, pois deslocam cada autovalor real lambdaj para lambdajpm ineq 0, garantindo determinante não nulo.

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