5.3.13 Se
for uma matriz hermitiana, as matrizes
e
serão invertíveis? Por quê?
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz hermitiana e pergunta se as matrizes
e
são invertíveis. Vamos usar propriedades de matrizes hermitianas, autovalores e o critério de invertibilidade via espectro.
Passo 2
Uma matriz hermitiana satisfaz
. Isso implica que
- Todos os seus autovalores
são reais, isto é, . -
é diagonalizável por uma matriz unitária , ou seja,
Passo 3
Se
é autovetor de
com autovalor
, então
Logo os autovalores de
são exatamente
. Como cada
é real,
. Portanto
o que garante que
é invertível.
Passo 4
De modo análogo,
e como
para todo
, segue
Logo
também é invertível.
Resposta
Sim. Tanto
quanto
são invertíveis, pois deslocam cada autovalor real
para
, garantindo determinante não nulo.