5.3.6 Mostre que, se x for um autovetor associado ao autovalor lambda in C de uma matriz real A, então x será um autovetor associado ao autovalor barlambda.

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz real A e um vetor não-nulo xinC^n tal que
A,x=lambda,x,
onde lambdainC. Queremos mostrar que o vetor conjugado x satisfaz
A,x=lambda,x,
ou seja, que x é autovetor de A associado a lambda.

Passo 2

Lembrando a definição de autovetor e autovalor, x é autovetor de A para lambda se e somente se
A,x=lambda,x

Passo 3

Como A é real, todos os seus elementos são números reais. Logo, ao aplicar a conjugação complexo-linear, temos
A = A
Agora, conjugando a equação A,x=lambda,x obtemos
A,x ;=;lambda,x

Passo 4

Usamos as propriedades da conjugação de matrizes e vetores:
A,x =A;x = A,x,
lambda,x =lambda;x
Portanto a igualdade conjugada fica
A,x =lambda,x,
o que significa exatamente que x é autovetor de A com autovalor lambda.

Resposta

x é um autovetor de A associado ao autovalor lambda.

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