5.3.6 Mostre que, se
for um autovetor associado ao autovalor
de uma matriz real
, então
será um autovetor associado ao autovalor
barlambda .
Passo 1
O enunciado nos dá uma matriz real
A e um vetor não-nulo
xinC^n tal que
onde
lambdainC . Queremos mostrar que o vetor conjugado
x satisfaz
ou seja, que
x é autovetor de
A associado a
lambda .
Passo 2
Lembrando a definição de autovetor e autovalor,
x é autovetor de
A para
lambda se e somente se
Passo 3
Como
A é real, todos os seus elementos são números reais. Logo, ao aplicar a conjugação complexo-linear, temos
Agora, conjugando a equação
A,x=lambda,x obtemos
Passo 4
Usamos as propriedades da conjugação de matrizes e vetores:
Portanto a igualdade conjugada fica
o que significa exatamente que
x é autovetor de
A com autovalor
lambda .