(FUVEST) Sejam
e
pontos do plano cartesiano.
a) Determine o coeficiente angular da reta BC .
b) Determine a equação da mediatriz do segmento BC . O ponto A pertence a esta mediatriz?
c) Considere a circunferência que passa por A, B e C. Determine a equação da reta tangente a esta circunferência no ponto A.
a) Determine o coeficiente angular da reta BC .
b) Determine a equação da mediatriz do segmento BC . O ponto A pertence a esta mediatriz?
c) Considere a circunferência que passa por A, B e C. Determine a equação da reta tangente a esta circunferência no ponto A.
Passo 1
O enunciado dá os pontos
,
e
. Precisamos:
- Usar a fórmula do coeficiente angular de uma reta para achar o declive de
. - Construir a mediatriz de
encontrando o ponto médio e usando o declive perpendicular; depois verificar se está nessa reta. - Determinar a circunferência que passa por
achando seu centro pela interseção de mediatrizes e usar a propriedade de que a reta tangente é perpendicular ao raio em .
Passo 2
Para a reta
, o coeficiente angular
é dado por
Passo 3
O ponto médio de
é
Como
, o declive da mediatriz é o negativo do recíproco, isto é,
. A equação da mediatriz fica
Substituindo
temos
, logo
pertence à mediatriz.
Passo 4
Para achar o centro
da circunferência, intersectamos a mediatriz de
,
, com a mediatriz de
.
O segmento
tem ponto médio
e como
é vertical, sua mediatriz é horizontal:
Interseção com
:
Logo
Passo 5
O raio em
é o segmento
. Seu declive é
A reta tangente à circunferência em
é perpendicular a
, logo seu declive é
. Passando por
, a equação é
Resposta
(a)
(b) A mediatriz de é
(b) A mediatriz de
e
pertence a ela.
(c) A reta tangente no ponto é
(c) A reta tangente no ponto