(FUVEST) Sejam A(0,0), B(0,5) e C(4,3) pontos do plano cartesiano.
a) Determine o coeficiente angular da reta BC .
b) Determine a equação da mediatriz do segmento BC . O ponto A pertence a esta mediatriz?
c) Considere a circunferência que passa por A, B e C. Determine a equação da reta tangente a esta circunferência no ponto A.

Passo 1

O enunciado dá os pontos A(0,0), B(0,5) e C(4,3). Precisamos:
  1. Usar a fórmula do coeficiente angular de uma reta para achar o declive de BC.
  2. Construir a mediatriz de BC encontrando o ponto médio e usando o declive perpendicular; depois verificar se A está nessa reta.
  3. Determinar a circunferência que passa por A,B,C achando seu centro pela interseção de mediatrizes e usar a propriedade de que a reta tangente é perpendicular ao raio em A.

Passo 2

Para a reta BC, o coeficiente angular m_{BC} é dado por
m_{BC}=\frac{y_C-y_B}{x_C-x_B}=\frac{3-5}{4-0}=\frac{-2}{4}=-\tfrac12.

Passo 3

O ponto médio de BC é
M=\bigl(\tfrac{0+4}2,\;\tfrac{5+3}2\bigr)=(2,4).
Como m_{BC}=-\tfrac12, o declive da mediatriz é o negativo do recíproco, isto é, m_\perp=2. A equação da mediatriz fica
y-4=2\,(x-2)
\Downarrow
y=2x.
Substituindo A(0,0) temos 0=2\cdot0, logo A pertence à mediatriz.

Passo 4

Para achar o centro O da circunferência, intersectamos a mediatriz de BC, y=2x, com a mediatriz de AB.
O segmento AB tem ponto médio
M_{AB}=\bigl(0,\tfrac{5}{2}\bigr)
e como AB é vertical, sua mediatriz é horizontal:
y=\tfrac{5}{2}.
Interseção com y=2x:
\tfrac{5}{2}=2x \quad\Longrightarrow\quad x=\tfrac{5}{4}.
Logo
O=\Bigl(\tfrac{5}{4},\tfrac{5}{2}\Bigr).

Passo 5

O raio em A é o segmento OA. Seu declive é
m_{OA}=\frac{0-\tfrac{5}{2}}{0-\tfrac{5}{4}} =\frac{-\tfrac{5}{2}}{-\tfrac{5}{4}}=2.
A reta tangente à circunferência em A é perpendicular a OA, logo seu declive é -\tfrac12. Passando por A(0,0), a equação é
y=-\tfrac12\,x.

Resposta

(a) -\tfrac12
(b) A mediatriz de BC é
y=2x,
e A pertence a ela.
(c) A reta tangente no ponto A é
y=-\tfrac12\,x.

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