Identifique o núcleo e a imagem da pseudo-inversa de uma transformação linear
.
Passo 1
Temos uma transformação linear
e queremos identificar o núcleo (
) e a imagem (
) da sua pseudo-inversa
. O conteúdo é a pseudoinversa de Moore–Penrose, e vamos precisar usar as condições de Penrose que tornam
e
projeções ortogonais.
Passo 2
O pseudo-inversa
satisfaz as quatro equações de Penrose, em particular
ou seja,
é a projeção ortogonal em
sobre
. Consequentemente
Passo 3
Para achar
, note que se
então
e, aplicando
,
Reciprocamente, para
temos
mas
age como projeção, logo
. Concluímos
Passo 4
Para
, primeiro usamos que
anula tudo em
, então
Como também
satisfaz
e é projeção ortogonal em
sobre
, segue
e portanto