Identifique o núcleo e a imagem da pseudo-inversa de uma transformação linear A: E F.

Passo 1

Temos uma transformação linear A: E to F e queremos identificar o núcleo ( ker A^+) e a imagem ( Im A^+) da sua pseudo-inversa A^+: F to E. O conteúdo é a pseudoinversa de Moore–Penrose, e vamos precisar usar as condições de Penrose que tornam A A^+ e A^+ A projeções ortogonais.

Passo 2

O pseudo-inversa A^+ satisfaz as quatro equações de Penrose, em particular
(AA^+)^* = AA^+,
(AA^+)^2 = AA^+,
ou seja, AA^+ é a projeção ortogonal em F sobre Im A. Consequentemente
Im(AA^+) = Im A,
ker(AA^+) = (Im A)^perp

Passo 3

Para achar ker A^+, note que se yin ker A^+ então A^+y=0 e, aplicando A,
AA^+y=0 implies yinker(AA^+)= (Im A)^perp
Reciprocamente, para yin(Im A)^perp temos AA^+y=0 mas AA^+ age como projeção, logo A^+y=0. Concluímos
ker A^+ = (Im A)^perp

Passo 4

Para Im A^+, primeiro usamos que A^+ anula tudo em (Im A)^perp, então
Im A^+ = A^+(F) = A^+(Im A) = Im(A^+A)
Como também A^+A satisfaz
(A^+A)^* = A^+A,
(A^+A)^2 = A^+A,
e é projeção ortogonal em E sobre (ker A)^perp, segue
Im A^+A = (ker A)^perp
e portanto
Im A^+ = (ker A)^perp

Resposta

ker(A^+) = (Im A)^perp, Im(A^+) = (ker A)^perp