Dado o vetor não-nulo a in E, defina a transformação linear A: R E pondo A cdot 1= a. Mostre que A^*: E R é definida por A^* cdot w=lang<= a, wrang<= e, usando a expressão A^+=(A^* A)^-1 A^*, conclua que A^+: E R é dada por A^+ cdot w=lang<= a, wrang<= /|a|^2.

Passo 1

O exercício dá um vetor não nulo a em um espaço euclidiano E e define a aplicação linear A:Rto E por A(1)=a. Precisamos mostrar quem é o adjunto A^* e, em seguida, usar A^+=(A^*A)^-1A^* para encontrar a pseudo-inversa de Moore–Penrose de A.

Passo 2

Para achar A^*, lembramos que o adjunto satisfaz a propriedade de produto interno
[\langle A(x),w\rangle_E = \langle x, A^(w)\rangle_{\mathbb R}]
para todo xin R e win E. Como A(x)=x,a, temos
[\langle A(x),w\rangle_E = \langle x,a, w\rangle_E = x,\langle a,w\rangle_E.]
No lado real,
[\langle x, A^
(w)\rangle_{\mathbb R} = x,A^*(w).]
Comparando, vemos que A^*(w)=lang<= a,wrang<=E.

Passo 3

Agora calculamos A^*A: Rto R. Para xin R:
[A^A(x) = A^(A(x)) = A^*(x,a) = \langle a, x,a\rangle_E = x,\langle a,a\rangle_E = x,|a|^2.]
Logo A^*A é multiplicação por |a|^2 em R, cujo inverso é multiplicação por 1/|a|^2.

Passo 4

Finalmente, pela fórmula da pseudo-inversa,
[A^+ = (A*A){-1}A^* = \frac1{|a|2}A,]
e portanto para qualquer win E temos
[A^+(w) = \frac1{|a|2},A
(w) = \frac{\langle a,w\rangle_E}{|a|^2}.]

Resposta

A^+\colon E\to\mathbb R é dada por A^+(w)=\langle a,w\rangle/|a|^2.

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