Dado o vetor não-nulo
, defina a transformação linear
pondo
a. Mostre que
é definida por
e, usando a expressão
, conclua que
é dada por
.
Passo 1
O exercício dá um vetor não nulo
em um espaço euclidiano
e define a aplicação linear
por
. Precisamos mostrar quem é o adjunto
e, em seguida, usar
para encontrar a pseudo-inversa de Moore–Penrose de
.
Passo 2
Para achar
, lembramos que o adjunto satisfaz a propriedade de produto interno
[\langle A(x),w\rangle_E = \langle x, A^(w)\rangle_{\mathbb R}]
para todo e
. Como
, temos
[\langle A(x),w\rangle_E = \langle x,a, w\rangle_E = x,\langle a,w\rangle_E.]
No lado real,
[\langle x, A^(w)\rangle_{\mathbb R} = x,A^*(w).]
Comparando, vemos que .
[\langle A(x),w\rangle_E = \langle x, A^(w)\rangle_{\mathbb R}]
para todo
[\langle A(x),w\rangle_E = \langle x,a, w\rangle_E = x,\langle a,w\rangle_E.]
No lado real,
[\langle x, A^(w)\rangle_{\mathbb R} = x,A^*(w).]
Comparando, vemos que
Passo 3
Agora calculamos
. Para
:
[A^A(x) = A^(A(x)) = A^*(x,a) = \langle a, x,a\rangle_E = x,\langle a,a\rangle_E = x,|a|^2.]
Logo é multiplicação por
em
, cujo inverso é multiplicação por
.
[A^A(x) = A^(A(x)) = A^*(x,a) = \langle a, x,a\rangle_E = x,\langle a,a\rangle_E = x,|a|^2.]
Logo
Passo 4
Finalmente, pela fórmula da pseudo-inversa,
[A^+ = (A*A){-1}A^* = \frac1{|a|2}A,]
e portanto para qualquer temos
[A^+(w) = \frac1{|a|2},A(w) = \frac{\langle a,w\rangle_E}{|a|^2}.]
[A^+ = (A*A){-1}A^* = \frac1{|a|2}A,]
e portanto para qualquer
[A^+(w) = \frac1{|a|2},A(w) = \frac{\langle a,w\rangle_E}{|a|^2}.]
Resposta
A^+\colon E\to\mathbb R é dada por A^+(w)=\langle a,w\rangle/|a|^2.