Prove as seguintes propriedades da pseudo-inversa de uma transformação linear A: E F :
(b) A^+ A A^+=A^+

Passo 1

O enunciado pede pra provar que A^+ A A^+ = A^+. O tema aqui é pseudo-inversa (ou Moore–Penrose) de uma transformação linear e vamos usar a decomposição em valores singulares (SVD) de A e sua expressão para A^+.

Passo 2

Como passo inicial, lembramos que toda matriz (ou operador) A de posto r admite uma SVD do tipo:
A = U , Sigma , V^T
onde U e V são matrizes ortogonais (ou unitárias), e Sigma é uma matriz diagonal com os r valores singulares sigma1,dots,sigmar>0 nas primeiras r posições. A pseudo-inversa então é dada por
A^+ = V , Sigma^+ , U^T
em que Sigma^+ é a matriz diagonal cujos r primeiros elementos são 1/sigma1,dots,1/sigmar e o restante zero.

Passo 3

Agora, calculamos diretamente A^+ A A^+ substituindo as SVDs:
A^+ A A^+ = (V , Sigma^+ , U^T) (U , Sigma , V^T) (V , Sigma^+ , U^T)
Como U^T U = I e V^T V = I, agrupar termos fica fácil:
A^+ A A^+ = V , Sigma^+ (U^T U) , Sigma (V^T V) , Sigma^+ , U^T = V , (Sigma^+ Sigma Sigma^+) , U^T

Passo 4

Basta notar que na parte diagonal temos Sigma^+ Sigma Sigma^+ = Sigma^+, pois cada bloco diagonal é (1/sigmai),sigmai,(1/sigmai) = 1/sigmai. Logo:
A^+ A A^+ = V , Sigma^+ , U^T = A^+

Resposta

A^+AA^+=A^+

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