Prove as seguintes propriedades da pseudo-inversa de uma transformação linear
:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede pra provar que
. O tema aqui é pseudo-inversa (ou Moore–Penrose) de uma transformação linear e vamos usar a decomposição em valores singulares (SVD) de
e sua expressão para
.
Passo 2
Como passo inicial, lembramos que toda matriz (ou operador)
de posto
admite uma SVD do tipo:
onde
e
são matrizes ortogonais (ou unitárias), e
é uma matriz diagonal com os
valores singulares
nas primeiras
posições. A pseudo-inversa então é dada por
em que
é a matriz diagonal cujos
primeiros elementos são
e o restante zero.
Passo 3
Agora, calculamos diretamente
substituindo as SVDs:
Como
e
, agrupar termos fica fácil:
Passo 4
Basta notar que na parte diagonal temos
, pois cada bloco diagonal é
. Logo: