Prove as seguintes propriedades da pseudo-inversa de uma transformação linear A: E F :
(a) A A^+ A=A

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para a pseudo-inversa de Moore–Penrose de uma transformação linear Acolon Eto F, vale A A^+ A = A. O conteúdo aqui é a decomposição em valores singulares (SVD) de A e a definição da pseudo-inversa via SVD.

Passo 2

Como primeiro passo prático, escrevemos a SVD de A. Existem bases ortonormais em E e F que levam a matriz de A à forma A = U,Sigma,V^T, onde U e V são matrizes ortogonais (ou unitárias) e Sigma é diagonal com entradas singulares sigma1,dots,sigmar,0,dots,0. A pseudo-inversa fica definida por
Sigma^+ = diag(sigma1^-1,dots,sigmar^-1,0,dots,0),
e então
A^+ = V,Sigma^+,U^T

Passo 3

No segundo passo, basta multiplicar
A,A^+,A = (U,Sigma,V^T),(V,Sigma^+,U^T),(U,Sigma,V^T)
Como V^T V = I e U^T U = I, isso simplifica para
A,A^+,A = U,l(Sigma,Sigma^+,Sigmar),V^T

Passo 4

No último passo, usamos que em cada entrada singular não nula sigmai,cdotsigmai^-1,cdotsigmai = sigmai, e nas entradas zero tudo permanece zero. Logo Sigma,Sigma^+,Sigma = Sigma. Assim
A,A^+,A = U,Sigma,V^T = A,
o que fecha a demonstração da propriedade.

Resposta

A A^{+} A = A

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