Prove as seguintes propriedades da pseudo-inversa de uma transformação linear
:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para a pseudo-inversa de Moore–Penrose de uma transformação linear
, vale
. O conteúdo aqui é a decomposição em valores singulares (SVD) de
e a definição da pseudo-inversa via SVD.
Passo 2
Como primeiro passo prático, escrevemos a SVD de
. Existem bases ortonormais em
e
que levam a matriz de
à forma
, onde
e
são matrizes ortogonais (ou unitárias) e
é diagonal com entradas singulares
. A pseudo-inversa fica definida por
e então
Passo 3
No segundo passo, basta multiplicar
Como
e
, isso simplifica para
Passo 4
No último passo, usamos que em cada entrada singular não nula
, e nas entradas zero tudo permanece zero. Logo
. Assim
o que fecha a demonstração da propriedade.
Resposta
A A^{+} A = A