Identifique o subconjunto do plano e faça o seu gráfico. Se for uma hipérbole, então determine o centro, os vértices, os focos, os eixos de simetria e as suas assíntotas:
Passo 1
O enunciado pede pra entender o conjunto de pontos do plano que satisfazem a equação 4x² – y² + 8x + 6y + 11 = 0, classificar a cônica e, sendo hipérbole, achar centro, vértices, focos, eixos de simetria e assíntotas. Vamos usar completamento de quadrados e forma padrão de cônicas.
Passo 2
Primeiro agrupamos os termos em x e em y e completamos quadrados. Temos:
Escrevendo
completamos quadrados em cada parêntese:
Substituindo de volta:
Reorganizando para a forma canônica dividindo por -16:
Passo 3
Reconhecemos uma hipérbole com eixo transverso vertical (termo positivo em (y-3)²). O centro é o ponto que anula (x+1) e (y-3):
Passo 4
Na forma
temos
e
, logo
e
.
Os vértices ficam a distância ao longo do eixo vertical a partir do centro:
Os vértices ficam a distância
Passo 5
O foco usa
, então
. Os focos são:
Passo 6
As assíntotas saem de “centralizar” a hipérbole e linearizar:
Passo 7
Portanto:
Passo 8
Os eixos de simetria principais são o eixo transverso (vertical) e o eixo conjugado (horizontal):
Resposta
Trata‐se de uma hipérbole cuja equação canônica é
. Centro em
. Vértices em
e
. Focos em
. Assíntotas
e
. Eixos de simetria:
(transverso) e
(conjugado).