Identifique o subconjunto do plano e faça o seu gráfico. Se for uma hipérbole, então determine o centro, os vértices, os focos, os eixos de simetria e as suas assíntotas:
4 x^2-y^2+8 x+6 y+11=0

Passo 1

O enunciado pede pra entender o conjunto de pontos do plano que satisfazem a equação 4x² – y² + 8x + 6y + 11 = 0, classificar a cônica e, sendo hipérbole, achar centro, vértices, focos, eixos de simetria e assíntotas. Vamos usar completamento de quadrados e forma padrão de cônicas.

Passo 2

Primeiro agrupamos os termos em x e em y e completamos quadrados. Temos:
4x^2+8x - l(y^2-6yr) +11=0
Escrevendo
4l(x^2+2xr)-l(y^2-6yr)+11=0,
completamos quadrados em cada parêntese:
x^2+2x=(x+1)^2-1,
y^2-6y=(y-3)^2-9
Substituindo de volta:
4l((x+1)^2-1r)-l((y-3)^2-9r)+11=0,
4(x+1)^2-4-(y-3)^2+9+11=0Rightarrow4(x+1)^2-(y-3)^2+16=0
Reorganizando para a forma canônica dividindo por -16:
(y-3)^2-4(x+1)^2=16Longrightarrow(y-3)^216-(x+1)^24=1

Passo 3

Reconhecemos uma hipérbole com eixo transverso vertical (termo positivo em (y-3)²). O centro é o ponto que anula (x+1) e (y-3):
Centro: (-1,3)

Passo 4

Na forma (y-3)^2a^2-(x+1)^2b^2=1 temos a^2=16 e b^2=4, logo a=4 e b=2.
Os vértices ficam a distância a ao longo do eixo vertical a partir do centro:
(-1,3pm4)to(-1,7) e (-1,-1)

Passo 5

O foco usa c^2=a^2+b^2=16+4=20, então c=2raiz5. Os focos são:
(-1,3pm2raiz5)

Passo 6

As assíntotas saem de “centralizar” a hipérbole e linearizar:
y-3=pmab(x+1)=pm2(x+1)

Passo 7

Portanto:
y=2x+5e y=-2x+1

Passo 8

Os eixos de simetria principais são o eixo transverso (vertical) e o eixo conjugado (horizontal):
x=-1e y=3

Resposta

Trata‐se de uma hipérbole cuja equação canônica é (y-3)^216-(x+1)^24=1. Centro em (-1,3). Vértices em (-1,7) e (-1,-1). Focos em (-1,3pm2raiz5). Assíntotas y=2x+5 e y=-2x+1. Eixos de simetria: x=-1 (transverso) e y=3 (conjugado).

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