Construa, seguindo o roteiro dado, as hipérboles cujas equações são x^2-4 y^2=4,9 x^2-y^2=9 e x^2-y^2=1. (Atenção com os valores de a e.)

Passo 1

O objetivo é construir as hipérboles dadas pelas equações x²–4y²=4, 9x²–y²=9 e x²–y²=1. Vamos usar a teoria das seções cônicas, em particular a forma padrão da hipérbole com eixo transverso no eixo x.

Passo 2

A forma padrão de uma hipérbole com eixo transverso sobre o eixo x é
x^2a^2-y^2b^2=1
Nessa forma: o centro fica na origem, os vértices em (±a,0) e as assíntotas em y=±(b/a) x. Para cada equação, dividimos ambos os lados pelo valor do termo livre para identificar a² e b².

Passo 3

Para x²–4y²=4, dividimos tudo por 4:
x^24-y^21=1
Logo a²=4 ⇒ a=2, b²=1 ⇒ b=1. Vértices em (±2,0) e assíntotas y=±(b/a)x=±\frac{1}{2}x.

Passo 4

Para 9x²–y²=9, dividimos por 9:
x^21-y^29=1
Assim a²=1 ⇒ a=1, b²=9 ⇒ b=3. Vértices em (±1,0) e assíntotas y=±(b/a)x=±3x.

Passo 5

Para x²–y²=1, já está na forma padrão:
x^21-y^21=1
Então a²=b²=1 ⇒ a=b=1. Vértices em (±1,0) e assíntotas y=±(b/a)x=±x.

Passo 6

Para esboçar cada hipérbole, basta: desenhar os eixos, marcar os vértices em (±a,0), traçar o retângulo de semieixos a e b centrado na origem e suas diagonais como assíntotas, e, por fim, desenhar os ramos que se aproximam dessas retas. No caso, todas têm centro na origem e eixo horizontal.

Resposta

Para x²–4y²=4: a=2, b=1, vértices em (±2,0), assíntotas y=±\frac{1}{2}x.
Para 9x²–y²=9: a=1, b=3, vértices em (±1,0), assíntotas y=±3x.
Para x²–y²=1: a=1, b=1, vértices em (±1,0), assíntotas y=±x.

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