Esboce o gráfico das hipérboles, traçando as assíntotas:
-4(x+2)^2+16(y-1)^2=4

Passo 1

O enunciado dá a curva
-4(x+2)^2+16(y-1)^2=4
que é uma hipérbole. Vamos usar teoria de cônicas para colocar em forma padrão, identificar centro, vértices, semi-eixos e traçar as assíntotas.

Passo 2

Primeiro passamos a equação para a forma padrão dividindo tudo por 4 e reorganizando os termos:
-,(x+2)^2+4,(y-1)^2=1
Passamos o termo negativo para o outro lado:
4,(y-1)^2-(x+2)^2=1
Isso já mostra uma hipérbole com eixo transverso vertical.

Passo 3

Reescrevemos em forma de frações para identificar os parâmetros:
(y-1)^2tfrac14-(x+2)^21=1
Daí vemos que o centro é (-2,1), que a^2=tfrac14 (logo a=tfrac12) e b^2=1 (logo b=1). Como o termo positivo está associado a (y-1)^2, os ramos abrem para cima e para baixo.

Passo 4

Os vértices ficam em (x,y)=(-2,1pm a)=(-2,1pmtfrac12), ou seja em (-2,1.5) e (-2,0.5).
As assíntotas de uma hipérbole com centro (h,k), e semi-eixos a,b no eixo vertical são dadas por
y-k=pmab(x-h)
Assim, aqui:
y-1=pmtfrac121,(x+2)
ou seja
y-1=pmtfrac12,(x+2)
.

Passo 5

Para esboçar o gráfico: 1) marque o centro (-2,1), 2) trace as retas-assíntotas y-1=tfrac12(x+2) e y-1=-tfrac12(x+2), 3) marque os vértices (-2,1.5) e (-2,0.5), 4) desenhe os ramos da hipérbole que passam pelos vértices e se aproximam das assíntotas à medida que se afastam do centro.

Resposta

Gráfico da hipérbole centrada em (-2,1), ramos verticais, vértices em (-2,1.5) e (-2,0.5), e assíntotas
y-1=pmtfrac12(x+2)
.

Exercícios de Livros Relacionados