Esboce o gráfico das hipérboles, traçando as assíntotas:
Passo 1
O enunciado dá a curva
que é uma hipérbole. Vamos usar teoria de cônicas para colocar em forma padrão, identificar centro, vértices, semi-eixos e traçar as assíntotas.
Passo 2
Primeiro passamos a equação para a forma padrão dividindo tudo por 4 e reorganizando os termos:
Passamos o termo negativo para o outro lado:
Isso já mostra uma hipérbole com eixo transverso vertical.
Passo 3
Reescrevemos em forma de frações para identificar os parâmetros:
Daí vemos que o centro é
, que
(logo
) e
(logo
). Como o termo positivo está associado a
, os ramos abrem para cima e para baixo.
Passo 4
Os vértices ficam em
, ou seja em
e
.
As assíntotas de uma hipérbole com centro , e semi-eixos
no eixo vertical são dadas por
As assíntotas de uma hipérbole com centro
Assim, aqui:
ou seja
.
Passo 5
Para esboçar o gráfico: 1) marque o centro
, 2) trace as retas-assíntotas
e
, 3) marque os vértices
e
, 4) desenhe os ramos da hipérbole que passam pelos vértices e se aproximam das assíntotas à medida que se afastam do centro.
Resposta
Gráfico da hipérbole centrada em
, ramos verticais, vértices em
e
, e assíntotas
.