(a) Se A é uma matriz n times n e se b é uma matriz n times 1, quais condições você imporia para garantir que a equação x=A x+b tem uma única solução em x ?
(b) Supondo que suas condições estão satisfeitas, encontre uma fórmula para a solução em termos de uma inversa apropriada.

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz A de tamanho ntimes n e um vetor b de tamanho ntimes1, e pede (a) condições para que a equação
x=Ax+b
tenha solução única, e (b) a fórmula dessa solução. O conteúdo é álgebra linear, em particular sistemas lineares e invertibilidade de matrizes.

Passo 2

Reescrevendo a equação, agrupamos os termos em x:
x-Ax=b
ou seja
(I-A),x=b,
onde I é a matriz identidade ntimes n.

Passo 3

Para que esse sistema tenha uma única solução, a matriz de coeficientes I-A deve ser inversível. Equivalentemente:
  1. det(I-A)neq 0,
  2. rank(I-A)=n,
  3. nenhum autovalor de A é igual a 1.
    Em particular, se além disso rho(A)<1 (raio espectral menor que 1), então I-A é invertível e vale a série de Neumann.

Passo 4

Assumindo I-A invertível, a solução é dada por
x=(I-A)^-1,b
Se ainda tivermos rho(A)<1, pode-se usar a expansão em série de Neumann:
(I-A)^-1 =sumk=0^inftyA^k

Resposta

(a) I-A deve ser inversível, isto é, det(I-A)neq0 (ou equivalentemente rho(A)<1 para garantir invertibilidade).
(b) x=(I-A)^-1,b

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