(a) Se
é uma matriz
e se
é uma matriz
, quais condições você imporia para garantir que a equação
tem uma única solução em
?
(b) Supondo que suas condições estão satisfeitas, encontre uma fórmula para a solução em termos de uma inversa apropriada.
(b) Supondo que suas condições estão satisfeitas, encontre uma fórmula para a solução em termos de uma inversa apropriada.
Passo 1
O enunciado nos dá uma matriz
de tamanho
e um vetor
de tamanho
, e pede (a) condições para que a equação
tenha solução única, e (b) a fórmula dessa solução. O conteúdo é álgebra linear, em particular sistemas lineares e invertibilidade de matrizes.
tenha solução única, e (b) a fórmula dessa solução. O conteúdo é álgebra linear, em particular sistemas lineares e invertibilidade de matrizes.
Passo 2
Reescrevendo a equação, agrupamos os termos em
:
ou seja
onde
é a matriz identidade
.
Passo 3
Para que esse sistema tenha uma única solução, a matriz de coeficientes
deve ser inversível. Equivalentemente:
-
, -
, - nenhum autovalor de
é igual a .
Em particular, se além disso(raio espectral menor que 1), então é invertível e vale a série de Neumann.
Passo 4
Assumindo
invertível, a solução é dada por
Se ainda tivermos
, pode-se usar a expansão em série de Neumann:
Resposta
(a)
deve ser inversível, isto é,
(ou equivalentemente
para garantir invertibilidade).
(b)
(b)